Несложное уравнение в натуральных числах

[age]

nnosipov в сообщении #454918 писал(а):

А это с чего вдруг? Возьмите, например, $a=35$.

$\dfrac{(35!+1)^n-1}{(35!)^n-1}$, $n$ делится на $35!-1$ или делится на $37$.
Но $ord_{35!+1}37=36$. Всё.

[nnosipov]

Я возражал против Вашего утверждения: число $(a!)^n-1$ имеет много маленьких делителей. Это и есть Ваша фантазия. И будьте аккуратней в своих записях, у Вас там опять глупость написана.

[age]

Тем не менее с большинством факториалов интересующий Вас "фокус" проходит. Думать надо над $6!, 7!, 12!, 14!, 30!$. С остальными всё прекрасно.

[maxal]

nnosipov в сообщении #454559 писал(а):

И потом, нужно будет разлагать на множители большие числа типа $24^{167}-1$.

Кстати, для подобных чисел можно воспользоваться базой данных http://factordb.com которая содержит готовые факторизации всех небольших циклотомических чисел (из Cunningham project) и много прочих интересных факторизаций (репьюниты, числа Фибоначчи и т.д. и т.п.) Кроме того, она сама непрерывно пытается факторизовать составные числа в своей базе с помощью ECM.
$24^{167}-1$ там есть ;)

[nnosipov]

maxal в сообщении #454971 писал(а):

nnosipov в сообщении #454559 писал(а):

И потом, нужно будет разлагать на множители большие числа типа $24^{167}-1$.

Кстати, для подобных чисел можно воспользоваться базой данных http://factordb.com которая содержит готовые факторизации всех небольших циклотомических чисел (из Cunningham project) и много прочих интересных факторизаций (репьюниты, числа Фибоначчи и т.д. и т.п.) Кроме того, она сама непрерывно пытается факторизовать составные числа в своей базе с помощью ECM.
$24^{167}-1$ там есть ;)

Не знал, но подозревал о существовании чего-то подобного. Произвольные числа такого же размера, что и $24^{167}-1$, факторизовать было бы непросто: http://eprint.iacr.org/2010/006.pdf

[age]

nnosipov в сообщении #454918 писал(а):

age в сообщении #454911 писал(а):

У всех $(k!)^n-1$ будет много маленьких делителей (в контексте задачи, в общем случае это неверно)

Ох, и любите же Вы фантазировать. Какой-такой контекст? Здесь конкретные примеры надо разбирать.

Прошу прощения, имелось в виду $\left(\dfrac{k\#}{2}+1\right)^n-1$. Вы согласны что у него будет много "маленьких делителей"?

[nnosipov]

age в сообщении #455137 писал(а):

nnosipov в сообщении #454918 писал(а):

age в сообщении #454911 писал(а):

У всех $(k!)^n-1$ будет много маленьких делителей (в контексте задачи, в общем случае это неверно)

Ох, и любите же Вы фантазировать. Какой-такой контекст? Здесь конкретные примеры надо разбирать.

Прошу прощения, имелось в виду $\left(\dfrac{k\#}{2}+1\right)^n-1$. Вы согласны что у него будет много "маленьких делителей"?

Сформулируйте Ваше утверждение точно. Что такое "маленькие делители"? Что такое "много"? Имеются в виду какие-то конкретные значения $n$ или же $n$ может быть произвольным? Размытые формулировки с неясными основаниями не имеет смысла обсуждать.

[age]

nnosipov в сообщении #455158 писал(а):

Что такое "маленькие делители"?

Это я Вас должен спросить:

nnosipov в сообщении #454687 писал(а):

Кто бы мог подумать, что у числа $24^{11219648341}-1$ окажется много маленьких делителей.

Что такое "маленькие делители"? Или Вы забыли?

[nnosipov]

Видите ли, age, моё утверждение касалось одного конкретного числа $24^{11219648341}-1$, у которого действительно достаточно маленьких делителей --- в пределах одного-двух миллионов. Их несложно найти перебором, и среди них оказались те, которые привели к противоречию в обсуждаемой задаче. На большее я и не претендовал. А дальше начались Ваши беспочвенные фантазии про какие-то факториалы. Обсуждать с Вами я их не буду, по крайней мере до тех пор, пока они не обретут точных математических формулировок. Если Вы подметили какую-то закономерность, то чётко опишите её, придайте ей вид математического утверждения, и тогда мы его сможем обсудить. Берите пример с maxal'а (он, правда, лишил нас возможности самостоятельно найти доказательство подмеченного им факта, приложив это самое доказательство, но это вполне простительно).

[age]

nnosipov
я повторю вопрос:

age в сообщении #455137 писал(а):

имелось в виду $\left(\dfrac{k\#}{2}+1\right)^n-1$. Вы согласны что у него будет много "маленьких делителей"?

[nnosipov]

nnosipov в сообщении #455178 писал(а):

Обсуждать с Вами я их не буду, по крайней мере до тех пор, пока они не обретут точных математических формулировок.

[age]

Понятно.

[maxal]

Доказал для всех $k<360$.
$k=360$ - это крепкий орешек, требующий факторизации $360^{179}-1$...

[nnosipov]

maxal в сообщении #455362 писал(а):

Доказал для всех $k<360$.
$k=360$ - это крепкий орешек, требующий факторизации $360^{179}-1$...

Спасибо.

[age]

Для всех $k=n!$ довольно легко берётся при $n<32$, кроме $6!, 7!, 12!, 14!, 30!$. Для указанных $k$, числа $k-1$ - простые, поэтому соответственно нужны мощные факторизации начиная от $720^{719}-1$.

Для $6!$ вопрос решился с помощью http://factordb.com, ссылочку на которую дал maxal. Для $12!$ получается уже более 10 млн.значащих цифр, поэтому не факторизуется.