Сколько существует единиц, или сколько будет один плюс один?

[Brukvalub]

Sashamandra писал(а):

Нас учили, что единица одна и что в выражение 1 + 1 входит два раз имя единицы, которое обозначает одну и ту же единицу. Но так ли это? Если мы к одному яблоку прибавим одно (но другое) яблоко, получим два яблока. А если к одному яблоку прибавим то же самое яблоко (яблоко + яблоко), получим одно яблоко. Аналогичным образом, если к единице прибавим другую единицу, получим два, а если к единице прибавим ту же самую единицу, единица и останется единицей. Так как по-вашему, сколько единиц существует?

На Ваш первый тезис исчерпывающе ответил PAV

Цитата:

..Не надо путать числовые операции и теоретико-множественные.

указав тем самым, что в словах

Цитата:

А если к одному яблоку прибавим то же самое яблоко (яблоко + яблоко), получим одно яблоко.

Вы ловко подменяете арифметическое сложение теоретико-множественным объединением. Если проблема состояла в том, чтобы найти ошибку в Вашем рассуждении, то это сделал уже PAV. А других проблем я не вижу.

[Someone]

Sashamandra писал(а):

Если Вы посмотрите на мои сообщения, то Вы найдете в них аргументы, показывающие существование проблемы.

Именно аргументов не видно. Видна только высосанная из пальца псевдопроблема. Подобные псевдопроблемы абсолютно тривиальны (то есть, никому, кроме автора, не интересны) и обладают очень неприятной особенностью: на них невозможно ответить так, чтобы автор оказался удовлетворён.

Ждём убедительных примеров.

[Sashamandra]

Someone

Someone писал(а):

Или просто, извините за грубость, дурью маетесь? Причём, уже не первый раз.

Я то извиняю, но Вы здесь продемонстрировали всем, что других аргументов кроме грубости у Вас нет.

Someone писал(а):

Предложенный Вами подход ставит человечество в абсолютно безвыходную ситуацию, ибо запрещает упоминать какой-либо объект, если ранее его кто-нибудь уже упоминал. В том числе делает невозможной и Вашу любимую математическую логику: поскольку каждый символ алфавита существует (как элемент алфавита) в единственном экземпляре, мы можем использовать его только один раз.

Вы меня просто обезоружили. Я уже и не знаю, что мне еще сделать, чтобы Вы меня поняли. Посмотрите выше, я писал полностью противоположное тому, что Вы мне приписываете:

Sashamandra писал(а):

Подобная проблема не возникает в приведенных выше случаях, т.к. мы имеем свободу выписывать символы алфавита и имена объектов столько раз, сколько нам потребуется.

Далее Вы пишите:

Someone писал(а):

Раз пошла такая пьянка, давайте договоримся: Вы демонстрируете убедительный пример, показывающий, что нечто возможно выразить, используя функции $n$ переменных, и невозможно выразить, используя функции на упорядоченных $n$-ках. До демонстрации такого убедительного примера все Ваши рассуждения считаем пустословием.

Прямо-таки все? И почему я это обязан делать, раз я этого не утверждал, и вообще-то говоря, придерживаюсь другого мнения. Я утверждал, что 1) многоместные функции и одноместные функции это разные математические объекты; 2) отказ от многоместных функций в логике есть сужение выразительных средств. К этому могу добавить, хотя это уводит нас в сторону, что множество натуральных чисел с операцией сложения от двух аргументов и множество натуральных чисел с операцией сложения от одного аргумента (на множестве упорядоченных пар) не являются изоморфными. Изоморфизм определяется для систем, которые имеют одинаковую сигнатуру, а в этом случае сигнатуры разные.

[Brukvalub]

Sashamandra писал(а):

... множество натуральных чисел с операцией сложения от двух аргументов и множество натуральных чисел с операцией сложения от одного аргумента (на множестве упорядоченных пар) не являются изоморфными. Изоморфизм определяется для систем, которые имеют одинаковую сигнатуру, а в этом случае сигнатуры разные.

Что такое изоморфизм систем? Какая у него сигнатура?

Цитата:

..с операцией сложения от одного аргумента

- операция сложения от одного аргумента? Это что-то еще не открытое в математике, какая-то математика будущего?

[Sashamandra]

Someone

Someone писал(а):

Именно аргументов не видно. Видна только высосанная из пальца псевдопроблема.

Пусть нас рассудят.

Someone писал(а):

Подобные псевдопроблемы абсолютно тривиальны

Так, может проще осветить проблему, а не меня?

Someone писал(а):

на них невозможно ответить так, чтобы автор оказался удовлетворён

А Вы попробуйте сначала.

Добавлено спустя 7 минут 53 секунды:

Brukvalub

Brukvalub писал(а):

операция сложения от одного аргумента? Это что-то еще не открытое в математике, какая-то математика будущего?

Ну, ребята, вы даете! Так это же Вы сами предложили

Brukvalub писал(а):

А новый универсум из упорядоченных пар объектов прежнего универсума Вас не устроит?

Добавлено спустя 11 минут 16 секунд:

Brukvalub

Brukvalub писал(а):

Вы ловко подменяете арифметическое сложение теоретико-множественным объединением. Если проблема состояла в том, чтобы найти ошибку в Вашем рассуждении, то это сделал уже PAV. А других проблем я не вижу.

Проблема в другом. Если мы хотим объединить два множества, первое из которых есть {яблоко}, а второе есть тоже {яблоко}, то как мы это можем сделать, если, допустим, в мире существует только одно яблоко?

[PAV]

Sashamandra писал(а):

Проблема в другом. Если мы хотим объединить два множества, первое из которых есть {яблоко}, а второе есть тоже {яблоко}, то как мы это можем сделать, если, допустим, в мире существует только одно яблоко?

$A\cup A = A$

[Sashamandra]

PAV
Я об этом и говорю. Проблема является общей для любой многоместной функции. Как понимать выражение $f(a,a)$, когда в мире существует только один $a$?

[Brukvalub]

Ах, так Вы об этом? Ну так там шла речь о функциях:

Sashamandra писал(а):

...Пусть нам дана некая функция $\operatorname{f}$ от двух аргументов. Она может быть, например, неким алгоритмом с двумя входами, физическим преобразованием двух физических объектов или функцией сложения натуральных чисел. Рассмотрим два предмета $\operatorname{a}$ и $\operatorname{b}$ из области определения этой функции. $\operatorname{f} (\operatorname{a} ,\operatorname{b} )$ означает объект, который получен в результате применения функции к своим аргументам.

Спрашивается: какой смысл имеет выражение $\operatorname{f} (\operatorname{b} ,\operatorname{b} )$? Один из возможных ответов будет следующим. Аргументы $\operatorname{b}$ и $\operatorname{b}$ в выражении $\operatorname{f} (\operatorname{b} ,\operatorname{b} )$ указывают на (обозначают) два одинаковых (тождественных, равных) объекта аналогично тому, как выше «$1$» и «$1$» означали два одинаковых (тождественных, равных) имени. Но если в универсуме рассуждения не существует тождественных объектов, причем произвольное число, то данный ответ не может быть принят и возникает проблема. Подобная проблема не возникает в приведенных выше случаях, т.к. мы имеем свободу выписывать символы алфавита и имена объектов столько раз, сколько нам потребуется. А разве мы можем создавать в универсуме сами объекты?

Поскольку в математике как правило рассматривают $\operatorname{f} (x,y)$ при $x = y$ и $x \ne y$ на равных основаниях, то спрашивается, каким образом можно обосновать такую практику?

Вы затруднялись с пониманием определения функции двух переменных, и я подсказал Вам общепринятый выход из ситуации. О сложении чисел я такого не писал. И еще: Вы так и не ответили на вопрос:

Цитата:

Что такое изоморфизм систем?

А без этого ответа непонятен Ваш аргумент:

Цитата:

Изоморфизм определяется для систем, которые имеют одинаковую сигнатуру, а в этом случае сигнатуры разные.

И еще: Вы не ответили на мой аргумент:

Цитата:

Вы ловко подменяете арифметическое сложение теоретико-множественным объединением.

Или Вы выбираете среди аргументов других участников дискуссии только те, на которые можете ответить, игнорируя остальные?

[Someone]

Sashamandra писал(а):

Someone писал(а):

Предложенный Вами подход ставит человечество в абсолютно безвыходную ситуацию, ибо запрещает упоминать какой-либо объект, если ранее его кто-нибудь уже упоминал. В том числе делает невозможной и Вашу любимую математическую логику: поскольку каждый символ алфавита существует (как элемент алфавита) в единственном экземпляре, мы можем использовать его только один раз.

Вы меня просто обезоружили. Я уже и не знаю, что мне еще сделать, чтобы Вы меня поняли. Посмотрите выше, я писал полностью противоположное тому, что Вы мне приписываете:

Sashamandra писал(а):

Подобная проблема не возникает в приведенных выше случаях, т.к. мы имеем свободу выписывать символы алфавита и имена объектов столько раз, сколько нам потребуется.

Она точно так же не возникает и в других случаях, так как мы имеем полную свободу упоминать любые объекты столько раз, сколько нам потребуется.

Вы пишете, что

Sashamandra писал(а):

В математике широко распространена практика представления многоместных функций с помощью одноместных, но это совсем не значит их отождествления.

сами же демонстрируете именно такое смешение: упоминание единицы в записи операции сложения отождествляете с самой единицей.

Sashamandra писал(а):

Далее Вы пишите:

Someone писал(а):

Раз пошла такая пьянка, давайте договоримся: Вы демонстрируете убедительный пример, показывающий, что нечто возможно выразить, используя функции $n$ переменных, и невозможно выразить, используя функции на упорядоченных $n$-ках. До демонстрации такого убедительного примера все Ваши рассуждения считаем пустословием.

Прямо-таки все? И почему я это обязан делать, раз я этого не утверждал, и вообще-то говоря, придерживаюсь другого мнения. Я утверждал, что 1) многоместные функции и одноместные функции это разные математические объекты; 2) отказ от многоместных функций в логике есть сужение выразительных средств. К этому могу добавить, хотя это уводит нас в сторону, что множество натуральных чисел с операцией сложения от двух аргументов и множество натуральных чисел с операцией сложения от одного аргумента (на множестве упорядоченных пар) не являются изоморфными. Изоморфизм определяется для систем, которые имеют одинаковую сигнатуру, а в этом случае сигнатуры разные.

Причём здесь вообще изоморфизм?

И опять, Вы говорите о сужении выразительных средств, то есть, утверждаете, что функции нескольких переменных нельзя ничем заменить. Кто мешает Вам определить в логике терм $(x_1,x_2)$ и использовать его как аргумент функции?

[Brukvalub]

Sashamandra писал(а):

...Проблема в другом. Если мы хотим объединить два множества, первое из которых есть {яблоко}, а второе есть тоже {яблоко}, то как мы это можем сделать, если, допустим, в мире существует только одно яблоко?

Сходил на кухню, посмотрел в вазу-там лежит 5 яблок, поэтому предположение неверно. . Почему мы должны предполагать, что каждый объект существует в единственном экземпляре? Нам удобно предполагать, что существует сколь угодно много идентичных копий каждого объекта, ну и будем так считать. По этому поводу у У. Шекли есть смешной рассказ о машине, которая делала любую вещь, но только в одном экземпляре, а потом стала производить себе подобные машины уже во множестве штук.

[PAV]

Sashamandra писал(а):

PAV
Я об этом и говорю. Проблема является общей для любой многоместной функции. Как понимать выражение $f(a,a)$, когда в мире существует только один $a$?

Никакой проблемы нет. Как определите $f$, так и понимайте. Определение может быть привязано к конкретной задаче.

Например, пусть у Вас есть картина и Вы берете деньги за ее просмотр. В этом случае мы имеем арифметическое сложение: сколько раз просмотрели - столько денег получили. Но если Вы захотите ее продать, то сделать это можно только один раз. Тут Вы работете с теоретико-множественной операцией.

[Sashamandra]

Brukvalub

Brukvalub писал(а):

Что такое изоморфизм систем? Какая у него сигнатура?

С разными вариациями алгебраической системой (А.И.Мальцев), алгебраической структурой (Бурбаки) называют объект $\langle A,\Omega _F ,\Omega _P \rangle $, где $A$ есть непустое множество, $\Omega _F $ - множество операций на $A$, $\Omega _P $ - множество операций на $A$. Под сигнатурой (Ершов), типом (Мальцев), родом (Бурбаки) понимают функцию, которая задают арность для произвольной функции из $\Omega _F $ и произвольного предиката из $\Omega _P $.

Brukvalub писал(а):

Ах, так Вы об этом? Ну так там шла речь о функциях:

Несовсем уверен, что уловил Вашу мысль. Я все время говорил о функциях и операцию объединения двух множеств рассматривал также как функцию.

Brukvalub писал(а):

Вы затруднялись с пониманием определения функции двух переменных, и я подсказал Вам общепринятый выход из ситуации. О сложении чисел я такого не писал.

Разве Ваше общее рассуждение о функции от двух переменных не распространяется на частный случай? Как это может быть? Значит, общее рассуждение неверно.

Brukvalub писал(а):

Что такое изоморфизм систем?.

В свете выше приведенного определения системы, наверно, становится ясно, что я понимаю под изоморфизмом систем?

Brukvalub писал(а):

Вы не ответили на мой аргумент

Ответил, ответ попал в мое сообщение, которое оказалось выше Вашего вопроса.

Someone

Someone писал(а):

Она точно так же не возникает и в других случаях, так как мы имеем полную свободу упоминать любые объекты столько раз, сколько нам потребуется.

Мне опять приходится цитировать себя.
Для функций эта процедура не проходит: мы должны складывать не имена, а объекты. А объекты универсума нам не так подвластны, как их имена.

Someone писал(а):

сами же демонстрируете именно такое смешение: упоминание единицы в записи операции сложения отождествляете с самой единицей.

Нет. Когда я говорю об объекте, я употребляю его имя, когда же я говорю об имени, я употребляю имя в кавычках.

Someone писал(а):

Причём здесь вообще изоморфизм?

Чтобы показать, что с математической точки зрения одноместные и многоместные функции - принципиально разные математические объекты.

Brukvalub

Brukvalub писал(а):

Сходил на кухню, посмотрел в вазу-там лежит 5 яблок, поэтому предположение неверно

А я не утверждал, что предположение верное. Я утверждал, что доказательство верное.

Brukvalub писал(а):

Почему мы должны предполагать, что каждый объект существует в единственном экземпляре?

Я как раз этого не требую. Посмотрите, пожалуйста, название темы дискуссии. Напротив, если предположить, что единиц (не имен, а тождественных объектов) бесконечно много, тогда моя проблема решается.

PAV

PAV писал(а):

Как определите $f$, так и понимайте. сколько раз просмотрели - столько денег получили

А как Вы определите $f(\operatorname{a} ,\operatorname{a} )$? Взятие двух плат за один просмотр?

[PAV]

Sashamandra писал(а):

Чтобы показать, что с математической точки зрения одноместные и многоместные функции - принципиально разные математические объекты.

Двуместная функция $f:A\times A\to B$.

Переходы к одноместной функции - это всего лишь обозначение $A_2=A\times A$.
Функция при этом получается одноместной $f:A_2\to B$.

Между ними не то что принципиальной разницы нет, это вообще один и тот же математический объект.

Любая функция одноместна, так как отображает некоторое одно множество в другое. Многоместность - это всего лишь когда в качестве первого множество берется декартово произведение двух других.

Добавлено спустя 1 минуту 10 секунд:

Sashamandra писал(а):

А как Вы определите $f(\operatorname{a} ,\operatorname{a} )$? Взятие двух плат за один просмотр?

Я не собираюсь определять $f$, это ваше дело. Как хотите - так и определяйте.

Добавлено спустя 4 минуты 34 секунды:

"Проблема" возникает из-за того, что вы наделяете математические объекты какими-то свойствами и отношениями, которые те на самом деле не имеют. Для физических объектов (например, яблок) есть понятие "быть одним и тем же объектом". Числа - не физические объекты, для них такого понятия нет (так же, как нет, например, формы, цвета, вкуса, массы и т.д.). Для чисел есть понятие "быть равными" или "быть неравными". Все остальное, что было написано - это Ваши личные домыслы. Если Вы сами придумываете объектам новые свойства, то сами с ними и разбирайтесь, чего Вы от других хотите услышать?

[Brukvalub]

Sashamandra писал(а):

С разными вариациями алгебраической системой (А.И.Мальцев), алгебраической структурой (Бурбаки) называют объект $\langle A,\Omega _F ,\Omega _P \rangle $, где $A$ есть непустое множество, $\Omega _F $ - множество операций на $A$, $\Omega _P $ - множество операций на $A$. Под сигнатурой (Ершов), типом (Мальцев), родом (Бурбаки) понимают функцию, которая задают арность для произвольной функции из $\Omega _F $ и произвольного предиката из $\Omega _P $.

- зачем здесь множество операций на А разбито на два подмножества? И что это за термин: "арность"? Такого слова я ранее не встречал.

Brukvalub писал(а):

Что такое изоморфизм систем?.

Цитата:

В свете выше приведенного определения системы, наверно, становится ясно, что я понимаю под изоморфизмом систем?

- наоборот, я совсем запутался из-за по-прежнему отсутствующего определения изоморфизма.

Brukvalub писал(а):

Вы не ответили на мой аргумент

Цитата:

Ответил, ответ попал в мое сообщение, которое оказалось выше Вашего вопроса.

-да, но перед ответом есть синенький текст об 11-минутной задержке, из-за которй я не увидел ответ своевременно.

[Someone]

Sashamandra писал(а):

Someone

Someone писал(а):

Она точно так же не возникает и в других случаях, так как мы имеем полную свободу упоминать любые объекты столько раз, сколько нам потребуется.

Мне опять приходится цитировать себя.
Для функций эта процедура не проходит: мы должны складывать не имена, а объекты. А объекты универсума нам не так подвластны, как их имена.

Алфавит и входящие в него символы также являются объектами некоторой теории, средствами которой описывается язык изучаемой теории. В частности, имена объектов сами являются объектами некоторой теории. Почему объекты одной теории мы можем размножать произвольным образом, как захотим, а объекты другой - не можем?

Я пока не решил, кто Вы такой. То ли любитель, желающий подправить профессионалов, то ли профессионал, валяющий дурака перед людьми, у которых и без того достаточно работы.

В первом случае я могу предположить, что Вы в какой-то популярной литературе вычитали аналогию: функция двух переменных - это некое механическое устройство с двумя входными отверстиями, куда нужно бросить исходные объекты (аргументы функции), и одним выходным, откуда вываливается результат. Берём такую машину для сложения натуральных чисел. Изымаем из натурального ряда единицу и двойку, кидаем их во входные отверстия, машина перерабатывает единицу и двойку в четвёрку и выкидывает эту четвёрку в выходное отверстие. Почему четвёрку? Шестерёнки износились от чрезмерной эксплуатации. В итоге у нас остаётся натуральный ряд без единицы и двойки, но с двумя четвёрками.

Какое это имеет отношение к математике и сложению натуральных чисел? Абсолютно никакого. Натуральные числа не существуют в том смысле, в каком существуют, например, яблоки. Свойства яблок не имеют никакого отношения к натуральным числам. Функция - это не машина по переработке одних объектов в другие, а просто соответствие: если первый аргумент функции соответствует объекту $a$, второй - объекту $b$, то результат соответствует объекту $c$. Нет никаких оснований утверждать, что аргументы функции (и её результат) не могут соответствовать одному и тому же объекту, сколько бы этих аргументов ни было.

Если же Вы профессионал, то Вы это сами должны понимать, и тогда Вы валяете дурака, отнимая у нас время по пустому поводу. Если Вам больше нечем заняться, загляните в раздел "Помогите решить / разобраться" и кому-нибудь объясните, как решать задачу, по возможности не решая за него. Это несколько сложнее, чем кажется.
Я уже писал, что разрешить подобные псевдопроблемы так, чтобы удовлетворить автора вопроса, практически невозможно, особенно если автор имеет в виду какое-то своё решение. Прежде всего, потому, что неизвестно, что он хочет услышать (а часто он и сам не понимает, чего хочет). Давайте эту дурацкую дискуссию закончим, и Вы изложите нам своё решение.

Sashamandra писал(а):

Someone писал(а):

Причём здесь вообще изоморфизм?

Чтобы показать, что с математической точки зрения одноместные и многоместные функции - принципиально разные математические объекты.

Вы об изоморфизме чего говорите? Мы обсуждали выразительные возможности формализованной теории. Вы утверждали, что теория с многоместными функциями имеет бóльшие выразительные возможности, чем с одноместными. Покажите, пожалуйста, что это действительно так, то есть, что без многоместных функций принципиально нельзя обойтись.

Sashamandra писал(а):

Brukvalub писал(а):

Почему мы должны предполагать, что каждый объект существует в единственном экземпляре?

Я как раз этого не требую. Посмотрите, пожалуйста, название темы дискуссии. Напротив, если предположить, что единиц (не имен, а тождественных объектов) бесконечно много, тогда моя проблема решается.

Возникают проблемы с интерпретацией равенства. Равенство $a=b$ означает, что $a$ и $b$ - один и тот же объект. У Вас же это нарушается: Ваши "тождественные" объекты - это разные объекты. Вы ведь прямо постулируете, что эти "тождественные" объекты используются не все сразу, а в необходимом количестве: один, два,... Поэтому мы можем определить функцию, которая на разных "тождественных" объектах будет принимать отнюдь не "тождественные" значения.
Возникают проблемы с теорией множеств. Для построения чего-нибудь может потребоваться произвольно большое множество "тождественных" объектов. В результате очень легко могут вылезти всякие парадоксы. Во всяком случае, совокупность объектов, "тождественных" числу $1$, не может быть множеством.