2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Вычислить
Сообщение03.06.2011, 08:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
Equinoxe в сообщении #453261 писал(а):
Вся эта мишура была для того, чтобы найти хоть одно C, для которого мы можем доказать C+1. Тогда база индукции будет доказана
Такого С не нашли. Но даже если бы и нашли, как из того, что верно для одного С, следует, что верно для любого С?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить
Сообщение03.06.2011, 08:46 
Заслуженный участник


22/11/10
1184
Что-то я не пойму. Речь все еще идет о том, что
$C+1= \sqrt{1+C\sqrt{1+(C+1)\sqrt{1+(C+2)\sqrt{1+(C+3)\sqrt{\dots}}}}}$
Сие равенство я уже доказал выше. Но может быть имеется в виду что-то новенькое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить
Сообщение03.06.2011, 09:14 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
sup

$\sqrt{p+C\sqrt{p+(C+1)\sqrt{p+(C+2)\sqrt{p+...}}}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить
Сообщение03.06.2011, 09:36 
Заслуженный участник


22/11/10
1184
Тогда шансы получить "простую" формулу крайне невелики. Обозначим это выражение как $f(p,C)$. Мы уже знаем, что $f(1,C)=C+1$. Попробуем найти $g(C)=\frac{d}{dp}f(p,C)|_{p=1}$.
Имеем
$f^2(p,C)=p+Cf(p,C+1)$

$2g(C)(1+C)=1+Cg(C+1)$

Обозначим $h(C)=2^{-C}g(C)/C$
Тогда
$h(C)=\frac{1}{2^{C+1} C(C+1)} +h(C+1)$
$h(C)=\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{C+k+1} (C+k)(C+k+1)}$
$g(C)=\frac{1}{2}-\frac{C}{2}\sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{k} (C+k)}$
Последний ряд уже "неэлементарен". При желании его легко представить в виде некого интеграла (он очень похож на ряд для логарифма). Но толку от этого немного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить
Сообщение03.06.2011, 09:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
sup в сообщении #453369 писал(а):
Что-то я не пойму. Речь все еще идет о том, что
$C+1= \sqrt{1+C\sqrt{1+(C+1)\sqrt{1+(C+2)\sqrt{1+(C+3)\sqrt{\dots}}}}}$
Сие равенство я уже доказал выше. Но может быть имеется в виду что-то новенькое?
Приведите здесь доказательство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить
Сообщение03.06.2011, 09:46 
Заслуженный участник


22/11/10
1184
http://dxdy.ru/post452874.html#p452874
$f_k(C)$ - это выражение с $k$ радикалами

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить
Сообщение03.06.2011, 09:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
sup в сообщении #453395 писал(а):
http://dxdy.ru/post452874.html#p452874
$f_k(C)$ - это выражение с $k$ радикалами
Пожалуйста, приведите здесь доказательство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить
Сообщение03.06.2011, 09:55 
Заслуженный участник


22/11/10
1184
sup в сообщении #452874 писал(а):
Положим ($C \geqslant 0$)

$f_1(C)=1$
$f_{k+1}(C)=\sqrt{1+Cf_k(C+1)}$

По индукции легко доказывается $f_k(C) \leqslant C+1$

Пусть $a,b >1$. И снова по индукции $f_k(C) \geqslant (C+1)e^{-\frac{\ln (C+b)}{a^{k-1}}}$,
если только
$a < 2 \frac{\ln b}{\ln (b +1)}$
Поэтому
$\lim \limits_{k \to \infty} f_k(C)=C+1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить
Сообщение03.06.2011, 10:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
sup в сообщении #453400 писал(а):
sup в сообщении #452874 писал(а):
если только
$a < 2 \frac{\ln b}{\ln (b +1)}$
Давайте без $a$ и $b,$ их в задаче нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить
Сообщение03.06.2011, 10:05 
Заслуженный участник


22/11/10
1184
Вы, наверное, очень строгий преподаватель. Но мы не на экзамене. Нисколько не сомневаюсь, что Вы и сами подберете сколько угодно таких $a,b$. Лишь бы $1<a<2$, а $b$ выберем "побольше".

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить
Сообщение03.06.2011, 10:18 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
sup в сообщении #453400 писал(а):
если только
$a < 2 \frac{\ln b}{\ln (b +1)}$
Кстати тоже не совсем понял насчёт $a$ и $b$.

-- Пт июн 03, 2011 11:27:58 --

sup в сообщении #453390 писал(а):
$g(C)=\frac{1}{2}-\frac{C}{2}\sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{k} (C+k)}$
Последний ряд уже "неэлементарен".
Предположим, $C=3$, тогда $g(C)=0.18223383328...$. Поясните. :? Да и насколько я понял, у Вас $p=1$, а хотелось бы $p=p$. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить
Сообщение03.06.2011, 10:31 
Заслуженный участник


22/11/10
1184
Оценка снизу
$f_k(C) \geqslant (C+1)e^{-\frac{\ln (C+b)}{a^{k-1}}}$
Эта оценка дает скорость сходимости к пределу. Чем больше $a$, тем выше скорость, но $a=2$ положить не получается ($b=\infty$).
Я никак не пойму, Вам будет намного легче, если я напишу
$b=\sqrt{e^\pi +\pi^e}$
$a=2 \frac{\ln b}{\ln (b+1)}$
Но, скорее всего,
$f_k(C) \sim (C+1)e^{-\frac{\varphi (C)}{2^{k-1}}}$
с медленно растущей $\varphi (C)$.
Но это уже совсем другая история.

-- Пт июн 03, 2011 13:37:35 --

age в сообщении #453409 писал(а):

sup в сообщении #453390 писал(а):
$g(C)=\frac{1}{2}-\frac{C}{2}\sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{k} (C+k)}$
Последний ряд уже "неэлементарен".
Предположим, $C=3$, тогда $g(C)=0.18223383328...$. Поясните. :? Да и насколько я понял, у Вас $p=1$, а хотелось бы $p=p$. :-)


Я всего лишь хотел показать, что "радикалами" Вы не отделаетесь. Если бы существовала "простая" формула с радикалами, то и производная от нее была бы тоже "простая". Но вот уже производная при $p=1$ уже "неэлементарная".

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить
Сообщение03.06.2011, 11:20 


24/01/11
207
TOTAL, следует-то вполне прямолинейно.
Если идти назад:
Пусть $\sqrt{1+C\sqrt{1+(C+1)\dots}}=C+1$
Тогда $\sqrt{1+(C-1)\sqrt{1+C\dots}}=\sqrt{(C+1)(C-1)+1}=\sqrt{C^2-1+1}=C$
Если идти вперед:
Пусть $\sqrt{1+C\sqrt{1+(C+1)\dots}}=C+1$
Тогда $\sqrt{1+(C+1)\sqrt{1+(C+2)\dots}}=\frac{(C+1)^2-1} C=C+2$
Да и это не проблема, проблема в том, что мы лишь приближаем к C+1, а надо сравнять
Ну, по крайней мере, мы бесконечно приближаемся к истине :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить
Сообщение03.06.2011, 11:20 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
sup
Не уверен, что Вы правы. Для $p=1$ точное элементарное решение существует, почему для других нет? :? :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить
Сообщение03.06.2011, 11:25 
Заблокирован
Аватара пользователя


17/06/09

2213
Equinoxe в сообщении #453433 писал(а):
TOTAL, следует-то вполне прямолинейно.
Если идти назад:
Пусть $\sqrt{1+C\sqrt{1+(C+1)\dots}}=C+1$
Тогда $\sqrt{1+(C-1)\sqrt{1+C\dots}}=\sqrt{(C+1)(C-1)+1}=\sqrt{C^2-1+1}=C$
Если идти вперед:
Пусть $\sqrt{1+C\sqrt{1+(C+1)\dots}}=C+1$
Тогда $\sqrt{1+(C+1)\sqrt{1+(C+2)\dots}}=\frac{(C+1)^2-1} C=C+2$
Да и это не проблема, проблема в том, что мы лишь приближаем к C+1, а надо сравнять
Ну, по крайней мере, мы бесконечно приближаемся к истине :)
Вот это уже лучше. Т.е. двигать мы можем и вверх и вниз и всё видим и всё вполне очевидно. А вот базы для индукции нету. :?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 73 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group