Вычислить

[TOTAL]

Equinoxe в сообщении #453261 писал(а):

Вся эта мишура была для того, чтобы найти хоть одно C, для которого мы можем доказать C+1. Тогда база индукции будет доказана

Такого С не нашли. Но даже если бы и нашли, как из того, что верно для одного С, следует, что верно для любого С?

[sup]

Что-то я не пойму. Речь все еще идет о том, что
$C+1= \sqrt{1+C\sqrt{1+(C+1)\sqrt{1+(C+2)\sqrt{1+(C+3)\sqrt{\dots}}}}}$
Сие равенство я уже доказал выше. Но может быть имеется в виду что-то новенькое?

[age]

sup

$\sqrt{p+C\sqrt{p+(C+1)\sqrt{p+(C+2)\sqrt{p+...}}}}$

[sup]

Тогда шансы получить "простую" формулу крайне невелики. Обозначим это выражение как $f(p,C)$. Мы уже знаем, что $f(1,C)=C+1$. Попробуем найти $g(C)=\frac{d}{dp}f(p,C)|_{p=1}$.
Имеем
$f^2(p,C)=p+Cf(p,C+1)$

$2g(C)(1+C)=1+Cg(C+1)$

Обозначим $h(C)=2^{-C}g(C)/C$
Тогда
$h(C)=\frac{1}{2^{C+1} C(C+1)} +h(C+1)$
$h(C)=\sum \limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^{C+k+1} (C+k)(C+k+1)}$
$g(C)=\frac{1}{2}-\frac{C}{2}\sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{k} (C+k)}$
Последний ряд уже "неэлементарен". При желании его легко представить в виде некого интеграла (он очень похож на ряд для логарифма). Но толку от этого немного.

[TOTAL]

sup в сообщении #453369 писал(а):

Что-то я не пойму. Речь все еще идет о том, что
$C+1= \sqrt{1+C\sqrt{1+(C+1)\sqrt{1+(C+2)\sqrt{1+(C+3)\sqrt{\dots}}}}}$
Сие равенство я уже доказал выше. Но может быть имеется в виду что-то новенькое?

Приведите здесь доказательство.

[sup]

http://dxdy.ru/post452874.html#p452874
$f_k(C)$ - это выражение с $k$ радикалами

[TOTAL]

sup в сообщении #453395 писал(а):

http://dxdy.ru/post452874.html#p452874
$f_k(C)$ - это выражение с $k$ радикалами

Пожалуйста, приведите здесь доказательство.

[sup]

sup в сообщении #452874 писал(а):

Положим ($C \geqslant 0$)

$f_1(C)=1$
$f_{k+1}(C)=\sqrt{1+Cf_k(C+1)}$

По индукции легко доказывается $f_k(C) \leqslant C+1$

Пусть $a,b >1$. И снова по индукции $f_k(C) \geqslant (C+1)e^{-\frac{\ln (C+b)}{a^{k-1}}}$,
если только
$a < 2 \frac{\ln b}{\ln (b +1)}$
Поэтому
$\lim \limits_{k \to \infty} f_k(C)=C+1$

[TOTAL]

sup в сообщении #453400 писал(а):

sup в сообщении #452874 писал(а):

если только
$a < 2 \frac{\ln b}{\ln (b +1)}$

Давайте без $a$ и $b,$ их в задаче нет.

[sup]

Вы, наверное, очень строгий преподаватель. Но мы не на экзамене. Нисколько не сомневаюсь, что Вы и сами подберете сколько угодно таких $a,b$. Лишь бы $1<a<2$, а $b$ выберем "побольше".

[age]

sup в сообщении #453400 писал(а):

если только
$a < 2 \frac{\ln b}{\ln (b +1)}$

Кстати тоже не совсем понял насчёт $a$ и $b$.

-- Пт июн 03, 2011 11:27:58 --

sup в сообщении #453390 писал(а):

$g(C)=\frac{1}{2}-\frac{C}{2}\sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{k} (C+k)}$
Последний ряд уже "неэлементарен".

Предположим, $C=3$, тогда $g(C)=0.18223383328...$. Поясните. Да и насколько я понял, у Вас $p=1$, а хотелось бы $p=p$.

[sup]

Оценка снизу
$f_k(C) \geqslant (C+1)e^{-\frac{\ln (C+b)}{a^{k-1}}}$
Эта оценка дает скорость сходимости к пределу. Чем больше $a$, тем выше скорость, но $a=2$ положить не получается ($b=\infty$).
Я никак не пойму, Вам будет намного легче, если я напишу
$b=\sqrt{e^\pi +\pi^e}$
$a=2 \frac{\ln b}{\ln (b+1)}$
Но, скорее всего,
$f_k(C) \sim (C+1)e^{-\frac{\varphi (C)}{2^{k-1}}}$
с медленно растущей $\varphi (C)$.
Но это уже совсем другая история.

-- Пт июн 03, 2011 13:37:35 --

age в сообщении #453409 писал(а):

sup в сообщении #453390 писал(а):

$g(C)=\frac{1}{2}-\frac{C}{2}\sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{k} (C+k)}$
Последний ряд уже "неэлементарен".

Предположим, $C=3$, тогда $g(C)=0.18223383328...$. Поясните. Да и насколько я понял, у Вас $p=1$, а хотелось бы $p=p$.

Я всего лишь хотел показать, что "радикалами" Вы не отделаетесь. Если бы существовала "простая" формула с радикалами, то и производная от нее была бы тоже "простая". Но вот уже производная при $p=1$ уже "неэлементарная".

[Equinoxe]

TOTAL, следует-то вполне прямолинейно.
Если идти назад:
Пусть $\sqrt{1+C\sqrt{1+(C+1)\dots}}=C+1$
Тогда $\sqrt{1+(C-1)\sqrt{1+C\dots}}=\sqrt{(C+1)(C-1)+1}=\sqrt{C^2-1+1}=C$
Если идти вперед:
Пусть $\sqrt{1+C\sqrt{1+(C+1)\dots}}=C+1$
Тогда $\sqrt{1+(C+1)\sqrt{1+(C+2)\dots}}=\frac{(C+1)^2-1} C=C+2$
Да и это не проблема, проблема в том, что мы лишь приближаем к C+1, а надо сравнять
Ну, по крайней мере, мы бесконечно приближаемся к истине :)

[age]

sup
Не уверен, что Вы правы. Для $p=1$ точное элементарное решение существует, почему для других нет?

[age]

Equinoxe в сообщении #453433 писал(а):

TOTAL, следует-то вполне прямолинейно.
Если идти назад:
Пусть $\sqrt{1+C\sqrt{1+(C+1)\dots}}=C+1$
Тогда $\sqrt{1+(C-1)\sqrt{1+C\dots}}=\sqrt{(C+1)(C-1)+1}=\sqrt{C^2-1+1}=C$
Если идти вперед:
Пусть $\sqrt{1+C\sqrt{1+(C+1)\dots}}=C+1$
Тогда $\sqrt{1+(C+1)\sqrt{1+(C+2)\dots}}=\frac{(C+1)^2-1} C=C+2$
Да и это не проблема, проблема в том, что мы лишь приближаем к C+1, а надо сравнять
Ну, по крайней мере, мы бесконечно приближаемся к истине :)

Вот это уже лучше. Т.е. двигать мы можем и вверх и вниз и всё видим и всё вполне очевидно. А вот базы для индукции нету.