Вычислить

[sup]

Положим ($C \geqslant 0$)

$f_1(C)=1$
$f_{k+1}(C)=\sqrt{1+Cf_k(C+1)}$

По индукции легко доказывается $f_k(C) \leqslant C+1$

Пусть $a,b >1$. И снова по индукции $f_k(C) \geqslant (C+1)e^{-\frac{\ln (C+b)}{a^{k-1}}}$,
если только
$a < 2 \frac{\ln b}{\ln (b +1)}$
Поэтому
$\lim \limits_{k \to \infty} f_k(C)=C+1$

[sup]

Пусть $A,C >0$. Положим (формально)
$f(A,C)=\sqrt{1+AC\sqrt{1+AC^2\sqrt{1+AC^3\cdots}}}$
Тогда
$f^2(A,C)=1+ACf(AC,C)$
Пусть $C \geqslant 1/2$. Тогда
$f(A,C) \leqslant 1+AC^2$.
Если же $C \leqslant 1/2$, то
$f(A,C) \leqslant 1+AC/2$.

[age]

Ну неравенства какбе понятно. Гораздо интереснее равенства (тождества).

[Equinoxe]

age,
При $C \to \infty$ исходное выражение стремится к $\sqrt{C\sqrt{(C+1)\sqrt{(C+2)\sqrt{\dots}}}}$, т.к. $\sqrt{1+a} \to \sqrt{a}$.
Выражение же вида $\sqrt{C\sqrt{(C+1)\sqrt{(C+2)\sqrt{\dots (C+K-1)\sqrt{(C+K)(C+K+1)}\dots}}}}$ стремится выражению $\sqrt{C\sqrt{(C+1)\sqrt{(C+2)\sqrt{\dots (C+K-1)\sqrt{(C+K)\sqrt{1+(C+K+1)\sqrt{1 + (C+K+1)\dots}}\dots}}}}$
А значит при $C \to \infty$ стремится к исходному.
А т.к. оно стремится ещё и к С+1 (Вы это уже доказали), исходное также стремится к C+1.

(все «стремится к …» здесь только в значении «стремится к … при $C \to \infty$»)

[TOTAL]

Equinoxe в сообщении #452994 писал(а):

При $C \to \infty$ исходное выражение стремится к $\sqrt{C\sqrt{(C+1)\sqrt{(C+2)\sqrt{\dots}}}}$

Что понимаете под стремлением одного выражения к другому?

[Equinoxe]

TOTAL, под стремлением одного выражения к другому я понимаю то, что их разность стремится к нулю, со стремлением C к бесконечности

[TOTAL]

Equinoxe в сообщении #453006 писал(а):

TOTAL, под стремлением одного выражения к другому я понимаю то, что их разность стремится к нулю, со стремлением C к бесконечности

Почему разность стремится к нулю?

[Equinoxe]

TOTAL, в каком из утверждений?
Если в первом, то там С стремится к бесконечности, а значит
sqrt(1+C(…)) стремится к sqrt(C(…)),
внутри же (…) выражение sqrt(1+(C+1)(…)), которое стремится к sqrt((C+1)(…)), причем точно не медленнее, чем исходное и т.д (точно не медленнее, т.к. оно строго больше).

[TOTAL]

Equinoxe в сообщении #453009 писал(а):

Если в первом, то там С стремится к бесконечности, а значит
sqrt(1+C(…)) стремится к sqrt(C(…)),

Это откуда следует при бесконечном количестве корней?

[Equinoxe]

TOTAL, ок, поняла.
Тогда будем идти с конца.
Задача такая: положим, мы хотим убрать 1-чки только у конечного числа (пусть это будет K) внешних корней и получить разницу не более чем в некую маленькую величину $\epsilon<1$.
Возьмём самый глубокий, K-тый (из тех, которые мы хотим изменить).
Увеличиваем C до тех пор пока он, т.е. $\sqrt{1+(C+K)\sqrt{1+(C+K+1)\sqrt{\dots}}}$, не приблизится к $\sqrt{(C+K)\sqrt{1+(C+K+1)\sqrt{\dots}}}$ хотя бы на \epsilon.
Далее разбираем следующий корень, делаем аналогичное и т.д. (ясно, что ситуация от увеличения С в остальных корнях только улучшится, т.к. некоторый eps там уже достигнут) (на самом деле это лишь доказывает, что на любом уровне можно достичь сколь угодно малый eps)
В итоге мы найдём такое C, что значение выражения с убранными 1+ во внешних K корнях отличается от исходного не более, чем на \epsilon
Теперь осталось бесконечно увеличивать K и уменьшать \epsilon. Получаем, что надо

Можно, наверное, проще, но так хотя бы очевидно, что стремится

[age]

Equinoxe в сообщении #452994 писал(а):

При $C \to \infty$ исходное выражение стремится к $\sqrt{C\sqrt{(C+1)\sqrt{(C+2)\sqrt{\dots}}}}$, т.к. $\sqrt{1+a} \to \sqrt{a}$.

Понятно. Но у нас $C$ не стремится к бесконечности, а может быть и $2$, и $3$, и $1$. На бесконечности - да, на самом конце, когда $C+K$ становятся очень большими. Но ближе сюда, где они небольшие это даст неверный результат.

К сожалению выкинуть единички не удастся.

[Equinoxe]

age, так нам нужно чтобы хотя один C!=0 сделал неравенство верным, остальное идёт по индукции (она существует в обе стороны, хотя нам нужно только вниз)

[age]

Equinoxe
Стоп. Не понял. У нас есть $C$ - это произвольное число, оно не может расти и есть $(C+K)$ - вот здесь $K$ может быть сколь угодно большим. Но в любом случае на мелкой воде при малых $K$ мы не сможем заменить $1+(C+K)$ на $(C+K)$. Или я чего-то недопонимаю.

[Equinoxe]

age, да, недопонимаете.
Вся эта мишура была для того, чтобы найти хоть одно C, для которого мы можем доказать C+1. Тогда база индукции будет доказана

[age]

Аааааа...