Подгруппа индекса 2 всегда нормальна?

[JMH]

Нужно доказать, что подгруппа $H$ группы $G$ индекса 2 всегда нормальна. Рассуждаю следующим образом: смежных классов два, один из них образован неким элементом $a$. Но $a^{-1}$ не может принадлежать подгруппе $H$, иначе $a$ тоже принадлежал бы $H$. Следовательно $G$ является объединением $aH$ и $a^{-1}H$. Мне кажется, отсюда должно как-то следовать, что $aH=Ha$; как, не подскажете? Заранее большое спасибо!

[bnovikov]

Рассматривайте левый и правый смежные классы $aH$ и $Ha$.

[mihailm]

JMH в сообщении #452490 писал(а):

...один из них образован неким элементом $a$
...

элемент a принадлежит подгруппе или нет?
а второй из них что?

[JMH]

Я, безусловно, нёс чушь - смежных классов совершенно необязательно должно быть два. Если взять, например, симметрическую группу $G_3$ и её инвариантную знакопеременную подгруппу $U_3$, то имеем по 3 левых и правых смежных класса. Другое дело, что некоторые смежные классы могут совпадать.

bnovikov в сообщении #452498 писал(а):

Рассматривайте левый и правый смежные классы $aH$ и $Ha$.

Я только на них и смотрю... Ясно, что они должны совпадать, а почему - не вижу :(

mihailm в сообщении #452549 писал(а):

элемент a принадлежит подгруппе или нет?

Если и принадлежит, то смежный класс совпадает с $H$, но как этим воспользоваться?

Пошарил вокруг да около, никаких доказательств не нашёл, зато выяснил, что eсли $p$ — наименьший простой делитель порядка $G$, то любая подгруппа индекса $p$ нормальна, $p=2$ - частный случай.

[mihailm]

сколько элементов то хоть в смежном классе?

[JMH]

Понял, что Вы имеете ввиду: число элементов в смежном классе равно порядку подгруппы, а стало быть смежных классов два, так?

[mihailm]

JMH в сообщении #452791 писал(а):

Понял, что Вы имеете ввиду: число элементов в смежном классе равно порядку подгруппы, а стало быть смежных классов два, так?

да

[JMH]

Итак, смежных классов два, один из них $aH$, а второй - $G\setminus aH=H$, т.к., как мы выяснили $a\notin H \Rightarrow aH\ne H$. Отсюда следует, что $a^{-1}H=aH$, т.е. элемент, обратный к $a$ находится в том же смежном классе. А заодно с ним и все элементы вида $ha$, т.е. $Ha$, что и требовалось доказать. Так?

[mihailm]

JMH в сообщении #452839 писал(а):

Итак, смежных классов два

далее, по определению

bnovikov в сообщении #452498 писал(а):

Рассматривайте левый и правый смежные классы

[JMH]

Я так понимаю, Вы несогласны с моими рассуждениями из предыдущего поста; можно спросить, что именно неверно?

[Sonic86]

Я не понял, как из того, что $a^{-1} \in aH$ следует, что $ha \in aH$.
А mihaim Вам подсказывает максимально простое рассуждение.

[JMH]

Sonic86 в сообщении #453206 писал(а):

Я не понял, как из того, что $a^{-1} \in aH$ следует, что $ha \in aH$.

Собственно, не из этого, а из того, что в $G$ всего два смежных класса: $H$ и $aH$, где $a$ - любой элемент не принадлежащий $H$. Отсюда, а также из того, что $ha\notin H$ следует, что $ah$ и $ha$ находятся в одном классе, а стало быть $aH=Ha$.

Sonic86 в сообщении #453206 писал(а):

А mihaim Вам подсказывает максимально простое рассуждение.

К сожалению не улавливаю, какое именно :(

[Sonic86]

JMH писал(а):

К сожалению не улавливаю, какое именно :(

Да просто в лоб по определению. $H$ нормальна $\Leftrightarrow aH=Ha$. $H \neq aH, H \neq Ha$, но класса всего 2 значит ...

JMH писал(а):

Собственно, не из этого, а из того, что в $G$ всего два смежных класса: $H$ и $aH$, где $a$ - любой элемент не принадлежащий $H$. Отсюда, а также из того, что $ha\notin H$ следует, что $ah$ и $ha$ находятся в одном классе, а стало быть $aH=Ha$.

Вот этого mihailm от Вас и добивался, только в этом рассуждении надо просто лишнее убрать и все.