2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Подгруппа индекса 2 всегда нормальна?
Сообщение01.06.2011, 01:20 
Аватара пользователя
Нужно доказать, что подгруппа $H$ группы $G$ индекса 2 всегда нормальна. Рассуждаю следующим образом: смежных классов два, один из них образован неким элементом $a$. Но $a^{-1}$ не может принадлежать подгруппе $H$, иначе $a$ тоже принадлежал бы $H$. Следовательно $G$ является объединением $aH$ и $a^{-1}H$. Мне кажется, отсюда должно как-то следовать, что $aH=Ha$; как, не подскажете? Заранее большое спасибо!

 
 
 
 Re: Подгруппа индекса 2 всегда нормальна?
Сообщение01.06.2011, 03:31 
Рассматривайте левый и правый смежные классы $aH$ и $Ha$.

 
 
 
 Re: Подгруппа индекса 2 всегда нормальна?
Сообщение01.06.2011, 11:23 
JMH в сообщении #452490 писал(а):
...один из них образован неким элементом $a$
...


элемент a принадлежит подгруппе или нет?
а второй из них что?

 
 
 
 Re: Подгруппа индекса 2 всегда нормальна?
Сообщение01.06.2011, 21:30 
Аватара пользователя
Я, безусловно, нёс чушь - смежных классов совершенно необязательно должно быть два. Если взять, например, симметрическую группу $G_3$ и её инвариантную знакопеременную подгруппу $U_3$, то имеем по 3 левых и правых смежных класса. Другое дело, что некоторые смежные классы могут совпадать.

bnovikov в сообщении #452498 писал(а):
Рассматривайте левый и правый смежные классы $aH$ и $Ha$.

Я только на них и смотрю... Ясно, что они должны совпадать, а почему - не вижу :(

mihailm в сообщении #452549 писал(а):
элемент a принадлежит подгруппе или нет?

Если и принадлежит, то смежный класс совпадает с $H$, но как этим воспользоваться?

Пошарил вокруг да около, никаких доказательств не нашёл, зато выяснил, что eсли $p$ — наименьший простой делитель порядка $G$, то любая подгруппа индекса $p$ нормальна, $p=2$ - частный случай.

 
 
 
 Re: Подгруппа индекса 2 всегда нормальна?
Сообщение01.06.2011, 22:21 
сколько элементов то хоть в смежном классе?

 
 
 
 Re: Подгруппа индекса 2 всегда нормальна?
Сообщение01.06.2011, 22:33 
Аватара пользователя
Понял, что Вы имеете ввиду: число элементов в смежном классе равно порядку подгруппы, а стало быть смежных классов два, так?

 
 
 
 Re: Подгруппа индекса 2 всегда нормальна?
Сообщение01.06.2011, 22:39 
JMH в сообщении #452791 писал(а):
Понял, что Вы имеете ввиду: число элементов в смежном классе равно порядку подгруппы, а стало быть смежных классов два, так?


да

 
 
 
 Re: Подгруппа индекса 2 всегда нормальна?
Сообщение02.06.2011, 02:58 
Аватара пользователя
Итак, смежных классов два, один из них $aH$, а второй - $G\setminus aH=H$, т.к., как мы выяснили $a\notin H \Rightarrow aH\ne H$. Отсюда следует, что $a^{-1}H=aH$, т.е. элемент, обратный к $a$ находится в том же смежном классе. А заодно с ним и все элементы вида $ha$, т.е. $Ha$, что и требовалось доказать. Так?

 
 
 
 Re: Подгруппа индекса 2 всегда нормальна?
Сообщение02.06.2011, 10:18 
JMH в сообщении #452839 писал(а):
Итак, смежных классов два

далее, по определению
bnovikov в сообщении #452498 писал(а):
Рассматривайте левый и правый смежные классы

 
 
 
 Re: Подгруппа индекса 2 всегда нормальна?
Сообщение02.06.2011, 20:28 
Аватара пользователя
Я так понимаю, Вы несогласны с моими рассуждениями из предыдущего поста; можно спросить, что именно неверно?

 
 
 
 Re: Подгруппа индекса 2 всегда нормальна?
Сообщение02.06.2011, 20:33 
Я не понял, как из того, что $a^{-1} \in aH$ следует, что $ha \in aH$.
А mihaim Вам подсказывает максимально простое рассуждение.

 
 
 
 Re: Подгруппа индекса 2 всегда нормальна?
Сообщение02.06.2011, 20:40 
Аватара пользователя
Sonic86 в сообщении #453206 писал(а):
Я не понял, как из того, что $a^{-1} \in aH$ следует, что $ha \in aH$.

Собственно, не из этого, а из того, что в $G$ всего два смежных класса: $H$ и $aH$, где $a$ - любой элемент не принадлежащий $H$. Отсюда, а также из того, что $ha\notin H$ следует, что $ah$ и $ha$ находятся в одном классе, а стало быть $aH=Ha$.

Sonic86 в сообщении #453206 писал(а):
А mihaim Вам подсказывает максимально простое рассуждение.

К сожалению не улавливаю, какое именно :(

 
 
 
 Re: Подгруппа индекса 2 всегда нормальна?
Сообщение02.06.2011, 21:23 
JMH писал(а):
К сожалению не улавливаю, какое именно :(

Да просто в лоб по определению. $H$ нормальна $\Leftrightarrow aH=Ha$. $H \neq aH, H \neq Ha$, но класса всего 2 значит ...

JMH писал(а):
Собственно, не из этого, а из того, что в $G$ всего два смежных класса: $H$ и $aH$, где $a$ - любой элемент не принадлежащий $H$. Отсюда, а также из того, что $ha\notin H$ следует, что $ah$ и $ha$ находятся в одном классе, а стало быть $aH=Ha$.

Вот этого mihailm от Вас и добивался, только в этом рассуждении надо просто лишнее убрать и все.

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group