Скобки Дирака.

[r0ma]

Здравствуйте. Объясните мне, что Фейнман понимает под своими скобками Дирака? Просто, я чувствую, что этот момент мне до конца не понятен. Вот он пишет, что амплитуда перехода, допустим, из источника в детектор равна (ФЛФ, $\S 1$):

$$\langle x| s\rangle = \langle x| 1\rangle \langle 1| s\rangle$$

Что он под этим подразумевает? Ведь должен же быть какой-то оператор эволюции или ещё что, чтобы луч-то попал в детектор в т. х. И ещё, под таким сокращённым обозначением ведь понимается скалярное произведение. Т.е.

$$\langle \psi| \hat{A}| \psi\rangle = \int \psi^*\hat{A}\psi dq$$

А тут как с этим? Т.е. Фейнман говорит, что вот просто такое сокр. обозначение, где бракет - это амплитуда вероятности. Но меня это почему-то не устраивает. Не могли бы разъяснить? Или может меня не в ту степь понесло?

[Munin]

Собственно, первое определение - более общее. Если вы создаёте квантовую систему в состоянии $s,$ а потом измеряете её детектором в состоянии $f,$ то амплитуда такого развития событий - это $\langle f|s\rangle.$ Только в том случае, когда и то и другое событие происходит в один и тот же момент времени, а создание и измерение производятся одновременно во всех точках 3-мерного пространства, это вырождается в интеграл $\int\psi_f^*\psi_s dq,$ который можно записать как $\int\psi_f^*(q_f)\delta(q_f-q_s)\psi_s(q_s)dq_f dq_s.$ Во всех остальных вместо $\delta(q_f-q_s)$ там будет стоять более сложное выражение, описывающее эволюцию состояния, разбегающегося из точки $q_s$ - $G(q_f,q_s)$ - которое называется функцией Грина, или в случае свободной частицы пропагатором. В обычной квантовой механике в основном работают с оператором эволюции, но в квантовой теории поля функция Грина начинает играть центральную роль.

Вы читайте Фейнмана дальше, там либо объясняется всё подробнее, либо просто становится привычным, и всё очевидно по употреблению.

[r0ma]

Ага. Вроде понял. Т.е. если учитывать конечное время распростанения луча от источника к детектору, то надо соответственно сначала действовать оператором эволюции на состояние $|s\rangle$ и уже потом организовывать скалярное произведение $\langle f|s'\rangle$, где s' - состояние после того, как подействовали оператором. Я правильно понял? Или надо действовать оператором функции Грина? Кстати, не подскажите, а то с этим моментом (ф-и Грина в квантах) у меня совсем никак, где можно почитать про это? Т.е. как она вводится (формальное мат. определение я знаю) и что с ней делать после этого?

-- Вт май 31, 2011 12:16:58 --

Ага. Вроде понял. Т.е. если учитывать конечное время распростанения луча от источника к детектору, то надо соответственно сначала действовать оператором эволюции на состояние $|s\rangle$ и уже потом организовывать скалярное произведение $\langle f|s'\rangle$, где s' - состояние после того, как подействовали оператором. Я правильно понял? Или надо действовать оператором функции Грина? Кстати, не подскажите, а то с этим моментом (ф-и Грина в квантах) у меня совсем никак, где можно почитать про это? Т.е. как она вводится (формальное мат. определение я знаю) и что с ней делать после этого?

[Munin]

r0ma в сообщении #452184 писал(а):

Ага. Вроде понял. Т.е. если учитывать конечное время распростанения луча от источника к детектору, то надо соответственно сначала действовать оператором эволюции на состояние $|s\rangle$ и уже потом организовывать скалярное произведение $\langle f|s'\rangle$, где $s'$ - состояние после того, как подействовали оператором.

Да, но записать это можно как $\langle f|s\rangle,$ в такой записи (уже не просто "скалярном произведении") всё это уже подразумевается.

r0ma в сообщении #452184 писал(а):

Или надо действовать оператором функции Грина?

Результат будет один и тот же. Функция Грина, взятая при некотором заданном $t_f-t_s$ - это ядро оператора эволюции для промежутка времени $t_f-t_s\colon$

$$\int\psi_f^*(q_f)[S\psi_s](q_f)dq_f=\int\psi_f^*dq_f\left(\int G(q_f,q_s)\psi_s(q_s)dq_s\right)$$

Просто в виде оператора эволюции у вас заранее фиксирован порядок и способ интегрирования, а если вы пользуетесь функцией Грина - "строительным кирпичиком" оператора эволюции - то обладаете большей свободой. В частности, вы можете задавать область интегрирования не в виде одновременных поверхностей $t=\mathrm{const},$ что важно для релятивистски-инвариантной теории.

r0ma в сообщении #452184 писал(а):

Кстати, не подскажите, а то с этим моментом (ф-и Грина в квантах) у меня совсем никак, где можно почитать про это? Т.е. как она вводится (формальное мат. определение я знаю) и что с ней делать после этого?

Если вы сейчас на уровне ФЛФ § 1, вам это пока просто страшно рано. Это формализм, используемый в КТП, а КТП идёт после КМ. Когда доберётесь до учебников по КТП (Фейнман "Квантовая электродинамика" может быть неплохим вступлением, хотя это далеко не полный учебник), вам там всё объяснят.

-- 31.05.2011 19:58:07 --

Чорт, забыл упомянуть. У меня, считая с первого же сообщения, множество переменных $q$ включает в себя $t,$ а интегрирование по $dq$ производится по $t=\mathrm{const}.$ То есть, $G(q_f,q_s)$ включает в себя интервал и в пространстве, и во времени (иначе такой функции Грина просто не существует).

[r0ma]

Спасибо. Вроде всё понял.

Munin в сообщении #452316 писал(а):

Если вы сейчас на уровне ФЛФ § 1, вам это пока просто страшно рано. Это формализм, используемый в КТП, а КТП идёт после КМ. Когда доберётесь до учебников по КТП (Фейнман "Квантовая электродинамика" может быть неплохим вступлением, хотя это далеко не полный учебник), вам там всё объяснят.

Я прошёл годовой курс квантовой механики.
Спасибо. Фейнмановскую квантовую электродинамику почитаю.

[Munin]

r0ma в сообщении #452380 писал(а):

Я прошёл годовой курс квантовой механики.

Ну тогда дерзайте читать книги по КТП. Из Фейнмана ещё Фейнман-Хибс "Квантовая механика и интеграл по траекториям". По КТП Пескин-Шрёдер, Боголюбов-Ширков (для начала тоненькая книжка "Квантовые поля") - например, так (вообще, литературы море, и рекомендаций - тоже). В конце Мессиа есть попытка плавного перехода от КМ к КТП.

Та функция Грина, которую я упоминал, в книгах по КТП называется "одночастичная", а бывают ещё и "многочастичные".

[r0ma]

Большое спасибо за объяснения и советы! Буду дерзать!

[Munin]

r0ma в сообщении #452380 писал(а):

Фейнмановскую квантовую электродинамику почитаю.

Фейнмановская "Квантовая электродинамика" - это книжка, курс лекций для аспирантов, кажется. А фейнмановская квантовая электродинамика - это, собственно, теория, которую Фейнман сформулировал. КЭД с перенормировкой и фейнмановским формализмом диаграмм, где-то так - одна из формулировок КЭД, наиболее удобная и распространённая. Её, конечно, тоже можно почитать, но не только по Фейнману.