Найти значение минимума суммы функций синусов вида sin(a*x)

[_Ahilles_]

Здравствуйте. Возникла сложность в поиске аналитического выражения глобального минимума суммы следующей функции от переменной х:
$f(x)=\sin(a1*x+g1)+\sin(a2*x+g2)+....+\sin(an*x+gn)$, где
g1, g2, gn, a1, a2...an - рациональные числа, и n - конечно;
причем
g1 $\not =$ g2 $\not =$ gn $\not =$ a1 $\not =$ a2 $\not =$ an, т.е. коэффициенты g1, g2, gn, a1, a2...an между собой не равны.
Под глобальным имеется в виду такой минимум функции $f(x)$, который представляет собой наименьшее значение функции $f(x)$.
Как упрощение, допускается находить минимум похожей функции:
$f(x)=\sin(a1*x)+\sin(a2*x)+....+\sin(an*x)$, при таких же ограничениях на коэффициенты.
При решении этой задачи пробовал находить положение минимума этой функции, т.е. некоторое число х=хмин., при котором функция f(хмин.) обращается в минимум, через нахождение общего периода этой функции, но я не смог решить задачу таким образом. Обзор литературы по подобной тематике также не привел к методам разрешения подобных ситуаций.

[ewert]

Ну поскольку задача сводится (в рациональном случае) к какому-то алгебраическому уравнению высокой степени -- странно было бы надеяться на аналитический ответ.

[_Ahilles_]

Другими словами, аналитического выражения для минимума данной функции нельзя найти? Каким образом возможно найти значение минимума данной функции, не используя графики, численные методы? Возможно ли нахождение хотя бы приблизительного значения минимума данной функции с помощью аналитического выражения? Или как получить хотя бы такой ответ, что минимум данной функции будет не меньше/не больше такого-то приближенного, пусть и грубого, значения?

[mihiv]

Грубая оценка минимума сверху:пусть $m$-минимальное значение функции $F(x)$,очевидно $\int \limits _0^LF(x)dx\geq mL$,т.к. интеграл от $F(x)$ ограничен,то $m\leq \frac CL$,отсюда при $L\to \infty $ получим $m\leq 0$.

[ИСН]

Если на коэффициенты нет никакого требования, кроме рациональности, то эта грубая оценка... точна. (Ну, возьму я $\sin x + \sin(x+{355\over113})$, можно ещё несколько таких же парочек - и подойду как угодно близко к нулю.)
Но есть ещё требование неравенства, которое - - -

[_Ahilles_]

Спасибо за ответы. mihiv, в случае, когда $F(x)$ принимает как +, так и отрицательные значения, то нужно брать интеграл от квадрата $F(x)$?

[ИСН]

Один человек сказал (впрочем, лучше не открывайте, не надо):

(CENSORED!)

"Гавно" пишется через "а", а "говно" - через "о".

Вот так и у Вас: если думаете про среднее значение функции, то интегрируйте функцию, а если (зачем-то) её квадрата - то интегрируйте квадрат.

[_Ahilles_]

ИСН в сообщении #452647 писал(а):

Один человек сказал (впрочем, лучше не открывайте, не надо):

(CENSORED!)

"Гавно" пишется через "а", а "говно" - через "о".

Вот так и у Вас: если думаете про среднее значение функции, то интегрируйте функцию, а если (зачем-то) её квадрата - то интегрируйте квадрат.

Cреднее значение на периоде этой функции равно нулю - проверено много-много раз. А вот хотелось бы средний квадрат...Чтобы аналог среднеквадратического отклонения получить, как в теории вероятности.

[ИСН]

Так а что же Вы нам голову морочите минимумами какими-то!? Среднее значение квадрата функции на периоде равно $n\over2$, это ясно, как божий пень.

-- Ср, 2011-06-01, 20:15 --

Или это был отдельный вопрос, напрямую не связанный с первым?

[_Ahilles_]

ИСН в сообщении #452696 писал(а):

Так а что же Вы нам голову морочите минимумами какими-то!? Среднее значение квадрата функции на периоде равно $n\over2$, это ясно, как божий пень.

-- Ср, 2011-06-01, 20:15 --

Или это был отдельный вопрос, напрямую не связанный с первым?

Минимумами я голову не морочил, но получается так, что минимум для такой функции найти крайне проблематично, ну а если не минимум, то хоть какую-то оценку получить. Каково же будет среднее значение квадрата следующей функции:
$f(x)=A1 $\cdot$ \sin(a1$\cdot$ x)+A2$\cdot$\sin(a2$\cdot$x)+....+An$\cdot$ \sin(an$\cdot$x)$ , где
A1, А2,...,Аn - рациональные числа.

[ИСН]

${1\over2}(A_1^2+A_2^2+\dots+A_n^2)$

[_Ahilles_]

Спасибо. По расчетам, оценка "СКО" получается слишком грубой. А есть ли метод поиска такой величины, чтобы для указанной выше функции можно было сказать, что максимум будет меньше данной величины?

[AKM]

_Ahilles_,

зачем Вы пишете такие ужасы:

g1 $\not =$ g2 $\not =$ gn $\not =$ a1 $\not =$ a2 $\not =$

В последних сообщениях то же самое.
Формула ЦЕЛИКОМ помещается в (ОДНУ) пару долларов, не надо их мильён!
Индексы: a_1 B_1

Здесь рассказано, как набирать формулы (здесь подробнее).


Ваш ужастик:
$f(x)=A1 $\cdot$ \sin(a1$\cdot$ x)+A2$\cdot$\sin(a2$\cdot$x)+....+An$\cdot$ \sin(an$\cdot$x)$
Правильно:
$f(x)=A_1 \sin(a_1 x)+A_2\sin(a_2x)+\ldots+A_n \sin(a_nx)$

Ваш ужастик:
[math]$f(x)=A1 $\cdot$  \sin(a1$\cdot$ x)+A2$\cdot$\sin(a2$\cdot$x)+....+An$\cdot$ \sin(an$\cdot$x)$[/math]
Правильно:
$ f(x)=A_1 \sin(a_1 x)+A_2\sin(a_2x)+\ldots+A_n \sin(a_nx) $

[ИСН]

А это сложный вопрос, как я погляжу.
С нескольких сторон мы уже приблизились, вот Вам ещё одна, тоже простая: максимум меньше n (это если перед синусами единицы; если какие-то числа, то $|A_1|+|A_2|+\dots+|A_n|$), и если бы не требование рациональности - эта оценка тоже была бы точна, т.е. её нельзя было бы понизить. А так хрен знает.
Вы чего в точности хотите? (Понятно, что аналитического выражения; но вот его нет, тогда как?) Если та оценка "слишком грубая", то откуда начинается Ваше "слишком"?

[_Ahilles_]

ИСН в сообщении #452928 писал(а):

Вы чего в точности хотите? (Понятно, что аналитического выражения; но вот его нет, тогда как?) Если та оценка "слишком грубая", то откуда начинается Ваше "слишком"?

Вот грубая оценка максимума для суммы функций косинусов с произвольными значениями коэффициентов получается вполне сносной, т.к. при $x = 0$ все функции косинусов обращаются в максимальное значение. А вот для той же суммы косинусов найти минимум - гораздо проблематичней и он, не равен $A_1+A_2+\dots+A_n$, взятого с обратным знаком. Для примера брал $f(x)= \cos(2 x)+9\cos(4 x)+\ldots+8 \sin(3 x)$. Максимум этой функции равен 18, а минимум около -15,5 (из графика). В поиске этого минимума и кроется сложность....
Удовлетворительная точность минимума функции - около 10-15%. Всё что больше - уже с боольшой натяжкой можно применить на практике (до 25-30%).