Математическая логика (по Мендельсону)

[beroal]

Виктор Викторов в сообщении #451846 писал(а):

beroal в сообщении #451825 писал(а):

Точка просто отделяет переменные, которые связывает квантор, от всего остального.

Спасибо. Дошло.

Это моё собственное обозначение. В лямбда-исчислении в абстракции точка тоже используется, чтобы отделить переменные от остального. Я решил, что точка и в логических формулах будет выглядеть красиво.

-- Mon May 30, 2011 10:29:51 --

Виктор Викторов в сообщении #451855 писал(а):

Здесь терм это выражение — конечная последовательность из $n+3$ символов, где первый символ функциональная буква, второй круглая скобка, затем $n$ термов и ещё одна скобка. Здесь всё было бы хорошо, но не возникает ли ситуация, где мы определяем понятие через само себя? А если мы захотим, чтобы один из $n$ термов был ровно тот, который мы определяем?

Смотрите. Выберем в качестве функциональной буквы одноместный минус. Рассмотрим терм $t$, который определён как: минус, открывающая скобка, $t$, закрывающая скобка. Поскольку определение циклическое, то оно неправильное. В общем, бесконечных термов не бывает.

-- Mon May 30, 2011 10:34:23 --

Виктор Викторов в сообщении #451857 писал(а):

«Таким образом, $s^*$ — это функция, определяемая последовательностью $s$ и отображающая множество всех термов в D. Если говорить неформально…» Страница 58.
Это просто ошибка. Таким образом отображаются только переменные.

Так там же написано «неформально». Вот он и опустил про константы Формальное определение дано в учебнике выше, и там про константы написано.

Но вообще константы есть избыточное понятие, вместо констант можно использовать нульместные функциональные буквы.

P.S. Если не нравится этот учебник, можно взять другой.

[Виктор Викторов]

beroal в сообщении #451889 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #451855 писал(а):

Здесь терм это выражение — конечная последовательность из $n+3$ символов, где первый символ функциональная буква, второй круглая скобка, затем $n$ термов и ещё одна скобка. Здесь всё было бы хорошо, но не возникает ли ситуация, где мы определяем понятие через само себя? А если мы захотим, чтобы один из $n$ термов был ровно тот, который мы определяем?

Смотрите. Выберем в качестве функциональной буквы одноместный минус. Рассмотрим терм $t$, который определён как: минус, открывающая скобка, $t$, закрывающая скобка. Поскольку определение циклическое, то оно неправильное. В общем, бесконечных термов не бывает.

Бесконечных термов, конечно, не бывает. Расскажите, пожалуйста, чуть больше, что Вы имели в виду. В чем цикличность Вашего определения? Почему Вы считаете, что оно (определение) неправильное? Нельзя ли именно так определить противоположное число?

beroal в сообщении #451889 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #451857 писал(а):

«Таким образом, $s^*$ — это функция, определяемая последовательностью $s$ и отображающая множество всех термов в D. Если говорить неформально…» Страница 58.
Это просто ошибка. Таким образом отображаются только переменные.

Так там же написано «неформально». Вот он и опустил про константы Формальное определение дано в учебнике выше, и там про константы написано.

«Неформально» обычно несет две нагрузки: «своими словами» и разъяснение «зачем это понятие нужно». Слова-то свои, но всё должно быть правильно. Очень важен и мотив «зачем это понятие нужно». На этот вопрос в математике практически всегда есть ответ (часто несколько ответов) и этот ответ всегда двигает понимание материала вперед.

(Оффтоп)

beroal в сообщении #451889 писал(а):

P.S. Если не нравится этот учебник, можно взять другой.

Мендельсон мне очень нравится! Я сейчас жду бумажное пятое издание. Но критиковать учебник для меня один из способов обучения. (Как себя так и других).

[Виктор Викторов]

Виктор Викторов в сообщении #447646 писал(а):

«Формула $\mathscr A$ называется выполнимой (в исчислении предикатов), если существует интерпретация, в которой $\mathscr A$ выполнима хотя бы на одной последовательности из $\sum{.}$» Страница 62.
А что такое «$\mathscr A$ выполнима хотя бы на одной последовательности из $\sum{.}$»? Такого определения не было. Было определение, что значит «...формула $\mathscr A$ выполнена на последовательности $s=(b_1,b_2,\dots)$ из $\sum$ при данной интерпретации.» Страница 58.
Смотрим оригинал: «$\mathscr A$ is said to be satisfiable if and only if there is an interpretation for which $\mathscr A$ is satisfied by at least one sequence in $\sum{.}$» Страница 56 по второму английскому изданию.
«is satisfied» как раз и есть «выполнена». Т. е. должно быть «Формула $\mathscr A$ называется выполнимой (в исчислении предикатов), если существует интерпретация, в которой $\mathscr{A}$ выполнена хотя бы на одной последовательности из $\sum{.}$»

Я писал уже о том, что формула может быть выполнена на последовательности, но никак не выполнима. С другой стороны, определение выполнимой формулы на странице 62 весьма осмысленно. Речь идет о возможности, о существовании некоторой последовательности в некоторой интерпретации. Но корректность этого определения заставляет вернуться к началу параграфа.
На страницах 59-61 даются 11 «следствий из определений», т. е. рассматриваются свойства понятия интерпретации и выполненности формул на последовательностях области интерпретации. Остальные понятия служат либо для сокращения речи, либо носят служебный характер. Но на странице 58 говорится не о «выполненности», а о «выполнимости»: «Понятия выполнимости и истинности интуитивно ясны, ...», но речь в следствиях идет не о «выполнимости» (возможно или нет), а о том выполнена ли та или иная формула на некоторой последовательности или на всех последовательностях данной интерпретации или даже на всех последовательностях всех интерпретаций. Разбирая эти следствия, у меня появились «заметки на полях». Может быть, эти заметки будут интересны не только мне. Мне бы хотелось, чтобы меня поймали за руку, если я вру. Рассмотрим первые два следствия.

«(I) $\mathscr A$ ложно в данной интерпретации тогда и только тогда, когда $\neg \mathscr A$ истинно в той же интерпретации, и $\mathscr A$ истинно тогда и только тогда, когда $\neg \mathscr A$ ложно.
(II) Никакая формула не может быть одновременно истинной и ложной в одной и той же интерпретации.»

Итак, для каждой формулы в каждой интерпретации есть одна и только одна возможность:
1. Формула $\mathscr A$ выполнена на каждой последовательности этой интерпретации (истинна) и тогда формула $\neg \mathscr A$ не выполнена на каждой последовательности этой интерпретации (ложна).
2. Формула $\mathscr A$ не выполнена на каждой последовательности этой интерпретации (ложна) и тогда формула $\neg \mathscr A$ выполнена на каждой последовательности этой интерпретации (истинна).
3. Формула $\mathscr A$ выполнена на некоторых последовательностях этой интерпретации, а на тех последовательностях, на которых она не выполнена и только на них выполнена формула $\neg \mathscr A$. В третьем случае ни $\mathscr A$ ни $\neg \mathscr A$ не истинны и не ложны.

[beroal]

Виктор Викторов в сообщении #451939 писал(а):

Бесконечных термов, конечно, не бывает. Расскажите, пожалуйста, чуть больше, что Вы имели в виду. В чем цикличность Вашего определения? Почему Вы считаете, что оно (определение) неправильное? Нельзя ли именно так определить противоположное число?

Потому что я определяю терм $t$, и в определении ссылаюсь на $t$. То есть ссылаюсь на то имя, которое ещё не определил.

[Виктор Викторов]

beroal в сообщении #452096 писал(а):

Потому что я определяю терм $t$, и в определении ссылаюсь на $t$. То есть ссылаюсь на то имя, которое ещё не определил.

Следовательно, понимать надо так: «(b) если $f_k^j$ — функциональная буква и $t_1, t_2, \cdots, t_n$ — [уже определённые] термы, то $f_k^j(t_1, t_2, \cdots, t_n)$ есть терм;»

[Виктор Викторов]

Поскольку речь идет о формулах и я уже писал, что формула не может быть «истинно», «ложно» и «выполнено», то без оговорок меняю «истинно» на «истинна», «ложно» на «ложна» и «выполнено» на «выполнена». Продолжаю со следствиями:
«(III) Если в данной интерпретации истинны $\mathscr A$ и $\mathscr A\to \mathscr B$, то истинна и $\mathscr B$.
(IV) $\mathscr A\to \mathscr B$ ложна в данной интерпретации тогда и только тогда, когда $\mathscr A$ в этой интерпретации истинна, a $\mathscr B$ ложна.
(V) (i) $\mathscr A\wedge \mathscr B$ выполнена на последовательности $s$ тогда и только тогда, когда $\mathscr A$ выполнена на $s$ и $\mathscr B$ выполнена на $s$. $\mathscr A\vee \mathscr B$ выполнена на $s$ тогда и только тогда, когда $\mathscr A$ выполнена на $s$ или $\mathscr B$ выполнена на $s$. $\mathscr A\equiv \mathscr B$ выполнена на $s$ тогда и только тогда, когда либо $\mathscr A$ выполнена на $s$ и $\mathscr B$ выполнена на $s$, либо $\mathscr A$ не выполнена на $s$ и $\mathscr B$ не выполнена на $s$.»

Свойства (III) и (IV) очевидны. Интересные вещи происходят со свойством (V) (i). Здесь почему-то Мендельсон объединил несколько формул и рассматривает их на последовательности $s$, а не на всех последовательностях сразу. А я проявлю строптивость и рассмотрю конъюнкцию отдельно. Что же касается последовательностей, то это уже как придётся.

Итак, (V) (i) 1. Формула $\mathscr A\wedge \mathscr B$ выполнена на каждой последовательности в данной интерпретации (истинна) тогда и только тогда, когда $\mathscr A$ выполнена на каждой последовательности в данной интерпретации (истинна) и $\mathscr B$ выполнена на каждой последовательности в данной интерпретации (истинна).
Почему для конъюнкции Мендельсон отказался от такой же формулировки как для свойств (III) и (IV)? Мне это неясно.

Что произошло с дизъюнкцией и эквивалентностью понятно. Например, эвивалентность $\mathscr A\equiv \mathscr B$ может быть выполнена на каждой последовательности в данной интерпретации (истинна), но при этом каждая из формул $\mathscr A$ и $ \mathscr B$ не выполнена на каждой последовательности в данной интерпретации (ложна).

Учитывая, что $\mathscr A\vee \mathscr B$ сокращение для $\neg \mathscr A\to \mathscr B$, то можно сказать по аналогии с (III) и (IV)
5(i2) Если в данной интерпретации $\mathscr A$ ложна и $\mathscr A\vee \mathscr B$ истинна, то $\mathscr B$ истинна.
5(i3) $\mathscr A\vee \mathscr B$ ложна в данной интерпретации тогда и только тогда, когда в этой интерпретации ложны обе формулы $\mathscr A$ и $\mathscr B$.

[Виктор Викторов]

Нарушаю порядок и начинаю с определения:
«(iv) Формула $\forall x_i\mathscr{A}$ выполнена на $s$ тогда и только тогда, когда формула $\mathscr{A}$ выполнена на любой последовательности из $\sum $, отличающейся от $s$ не более чем своей i-й компонентой.» Стр.59.
(V-ii) «Формула $\exists x_i\mathscr{A}$ выполнена на $s$ тогда и только тогда, когда $\mathscr{A}$ выполнена хотя бы на одной последовательности $ s'$, отличающейся от $s$ не более чем своей i-й компонентой.
(VI) $\mathscr{A}$ истинна в данной интерпретации тогда и только тогда, когда в этой интерпретации истинна $\forall x_i\mathscr{A}$.» Стр.60.

Итак, кванторы. Формула $\mathscr{A}$ выполнена на $s$ и формула $\forall x_i\mathscr{A}$ выполнена на $s$. В чем различие? Конечно, можно ткнуться носом в определение, но именно об определении и речь, но слегка с другого боку. Выполненность $\mathscr{A}$ на $s$ зависит от конечного подмножества элементов последовательности $s$ и значений постоянных, используемых в данной формуле. Всю область данной интерпретации для выяснения вопроса выполнена $\mathscr{A}$ на $s$ можно и не знать! Причем во всех интерпретациях, содержащих нужные элементы и интерпретирующих их одинаково, результат одинаков. А с $\forall x_i\mathscr{A}$ другая история ведь через i-ю компоненту последовательности $s$ нужно прогнать всю область интерпретации! Поэтому, выполненность $\forall x_i\mathscr{A}$ на данной последовательности зависит от всей области интерпретации. И если в область интерпретации добавить новый элемент, то $\forall x_i\mathscr{A}$ может оказаться и невыполненной.

Что касается формулы $\exists x_i\mathscr{A}$, то сама формула это сокращение формулы $\neg \forall x_i\neg \mathscr{A}$. И поэтому в ней почти всё ясно. Хочется только заметить, что $\exists x_i\mathscr{A}$ может быть выполнена на последовательности $s$, а $\mathscr{A}$ не выполнена.
Также интересно сравнение: три формулы $\exists x_i\mathscr{A}$, $\mathscr{A}$ и $\forall x_i\mathscr{A}$ на последовательности $s$. Пустить одна из них выполнена на $s$ (или не выполнена). А как это влияет на две другие формулы? Вот один пример: пусть выполнена формула $\mathscr{A}$ на $s$, тогда сразу можно сказать, что выполнена и $\exists x_i\mathscr{A}$ и, может быть (но не обязательно!) выполнена $\forall x_i\mathscr{A}$.

Что же касается истинности формулы $\mathscr{A}$ в сравнении с истинностью $\forall x_i\mathscr{A}$, то для обеих формул речь идёт о выполненности формулы $\mathscr{A}$ на всех последовательностях. Опять же интересно сравнить с истинностью формулы $\exists x_i\mathscr{A}$ и, с моей точки зрения, важно отметить, что для истинности $\exists x_i\mathscr{A}$ не требуется истинности $\mathscr{A}$.

[Виктор Викторов]

«$\mathscr{A}$ истинна в данной интерпретации тогда и только тогда, когда в этой интерпретации истинна $\forall x_i\mathscr{A}$.» А если формула $\mathscr{A}$ не выполнена на одной из последовательностей. Какие варианты поведения в этом случае у формулы $\forall x_i\mathscr{A}$? Когда формула $\mathscr{A}$ ложна, то $\forall x_i\mathscr{A}$ также ложна. А вот в обратную сторону не работает. Формула $\forall x_i\mathscr{A}$ может быть ложна, а $\mathscr{A}$ всё-таки быть выполненной на некоторых последовательностях. Также возможен случай, когда обе формулы выполнены на некоторых последовательностях и не выполнены на других.

Об этом приходится задумываться, увидев определение замыкания формулы: «Замыканием данной формулы назовем формулу, которая получается приписыванием к $\mathscr{A}$ спереди знаков кванторов всеобщности, содержащих в порядке убывания индексов все свободные переменные, входящие в $\mathscr{A}$. Замыканием формулы $\mathscr{A}$ не содержащей свободных переменных, будем называть саму формулу $\mathscr{A}$.» Таким образом замыкание – замкнутая формула, т. е. формула без свободных переменных.
Кому это нужно? Ясно, что замыкание формулы $\mathscr{A}$ истинно тогда и тогда, когда $\mathscr{A}$ истинна. Мне на ум приходит только одно объяснение: замыкание не может быть выполнено на одних и не выполнено на других последовательностях. Оно или истинно, или ложно как и пропозициональная форма. Мендельсон и пишет на странице 57 «Для данной интерпретации всякая формула без свободных переменных (или, иначе, замкнутая формула) представляет собой высказывание, которое истинно или ложно,» и, чтобы было ясно отличие от формул со свободными переменными добавляет: «а всякая формула со свободными переменными выражает некоторое отношение на области интерпретации; это отношение может быть выполнено (истинно) для одних значений переменных из области интерпретации и не выполнено (ложно) для других.» Поскольку выглядит так, что высказывание у автора и есть пропозициональная форма, то можно ли считать, что замкнутая формула и соответственно замыкание являются пропозициональными формами?

Интересно отметить, что если формула $\mathscr B$ имеет всего одну переменную $x_1$, то замыканием $\mathscr{B}$ является формула $\forall x_1\mathscr B$, а замыканием $\exists x_1\mathscr B$ -- сама формула $\exists x_1\mathscr B$.

[Xaositect]

Виктор Викторов в сообщении #453364 писал(а):

автора и есть пропозициональная форма, то можно ли считать, что замкнутая формула и соответственно замыкание являются пропозициональными формами?

В некотором смысле можно. То есть исчисление высказываний вложено некоторым образом в исчисление предикатов.

[Виктор Викторов]

(Оффтоп)

Оказывается, чтобы запутаться нужно больше времени, чем, чтобы понять! Есть книга с названием «Кто есть Кто». А мне нужна книга: «Что есть Что»!

А если серьёзно, то я полностью запутался между терминами: «Высказывание (Sentence)», «Пропозициональная форма (Statement Form)», «формула (well-formed formula [wf])», «Замкнутая формула (Closed wf or a Sentence)». Поэтому, для начала беру цитаты об этих понятиях из этой темы и начинаю разбираться.

Xaositect в сообщении #453590 писал(а):

… исчисление высказываний вложено некоторым образом в исчисление предикатов.

Виктор Викторов в сообщении #446594 писал(а):

Я понимал, что под высказыванием понимается пропозициональная форма (вообще без переменных) и формулы с только связанными переменными (свободные переменные отсутствуют).

Xaositect в сообщении #446783 писал(а):

Высказыванием я назвал $x>0$ неправильно. Но и формулу логики предикатов $\forall x (x > 0)$ или $\exists x (x > 0)$ тоже высказыванием называть некорректно. Высказыванием (proposition) называется формула исчисления высказываний (и соответствующий неформальный объект), а замкнутая (без свободных переменных) формула исчисления предикатов называется предложением (stаtement).

Виктор Викторов в сообщении #446817 писал(а):

С удивлением обнаружил, что Мендельсон даже не описывает, что такое высказывание. (Определения, как я понимаю, и быть не может.) Слово «высказывание» на странице 19 во втором английском издании «sentence» страница 19.
Дальше ещё веселее. «Для данной интерпретации всякая формула без свободных переменных (или, иначе, замкнутая формула) представляет собой высказывание, которое истинно или ложно, а всякая формула со свободными переменными выражает некоторое отношение на области интерпретации; это отношение может быть выполнено (истинно) для одних значений переменных из области интерпретации и не выполнено (ложно) для других.» Страница 57.
«For a given interpretation, a wf without free variables (called a closed wf or a sentence) represents a proposition which is true or false, whereas a wf with free variables stands for a relation on the domain of the interpretation which may be satisfied (true) for some values in the domain of the free variables and not satisfied (false) for the others.» Второе английское издание страница 50.
Получается, что всякая замкнутая формула и «sentence» и «proposition» одновременно.

Виктор Викторов в сообщении #446817 писал(а):

… интересно, сравнить замкнутые формулы и такие образования, как «13 есть четное число» т. к. и те и другие либо истинны либо ложны. И также договориться во что превращается «формула со свободными переменными» после подстановки.

Итак, 1. «Высказывание (Sentence)» -- Мендельсон начинает пользоваться этим термином, не только не давая ему определения, но, даже не описывая, его. Поэтому, давайте скажем о высказываниях: высказывание либо истинно, либо ложно. Но высказывание не может быть одновременно истинным и ложным одновременно. Поскольку мы не говорим слов типа: «повествовательное предложение, у которого есть подлежащее и сказуемое», то позже у нас появятся проблемы: замкнутая формула тоже или истинна или ложна, «… исчисление высказываний вложено некоторым образом в исчисление предикатов» -- высказывание частный случай элементарной формулы?

2. «Пропозициональная форма (Statement Form)» -- (тут хоть и в примечании, но есть определение!) – «$\mathscr E$ есть пропозициональная форма тогда и только тогда, когда существует такая конечная последовательность $\mathscr A_1, \mathscr A_2, \cdots, \mathscr A_n$, что $\mathscr A_n=\mathscr E$ и для каждого $i$ $(1\leqslant I \leqslant n) \mathscr A_i$ является или буквой, или отрицанием, конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией или эквивалентностью предшествующих в этой последовательности выражений. Заметим, что рукописные латинские буквы $\mathscr A, \mathscr B, \mathscr E$ и т. д. употребляются нами для произвольных выражений, тогда как печатные латинские буквы применяются лишь как пропозициональные буквы.» Страница 22, примечание три.
Тут начинается словесная эквилибристика. Пропозициональная форма (Statement Form) есть выражение (expression), но пропозициональные связки применяются к высказываниям. Теперь грубый, но необходимый вопрос: является ли каждая пропозициональная форма высказыванием и обратно является ли каждое высказывание пропозициональной формой?

3. «Формула (well-formed formula [wf])» -- конечная последовательность символов. Но нехороший мальчик хочет знать как соотносятся формула и пропозициональная форма?

4. «Замкнутая формула (Closed wf or a Sentence)» -- с одной стороны: «... всякая формула без свободных переменных (или, иначе, замкнутая формула) представляет собой высказывание...» страница 57, а с другой стороны как пишет Xaositect: «... формулу логики предикатов $\forall x (x > 0)$ или $\exists x (x > 0)$ тоже высказыванием называть некорректно». А мне как жить дальше?

[Xaositect]

Мой взгляд на все это дело такой:
Мы изучаем логику. У нас есть некоторые неформальные объекты, как их называть --- не суть важно. Я здесь буду называть их "суждениями", как философы любят. В человеческом языке "высказывание", "предложение" - это то же самое.

В зависимости от того, удовдетворяемся ли мы только тем, что суждения могут быть истинными и ложными, или мы рассматриваем их некоторую внутреннюю структуру, мы получаем две формальных теории --- исчисление высказываний(propositional calculus) и исчисление предикатов(predicate calculus, first order logic). В каждой из этих теорий есть понятие (правильно построенной) формулы(formula, wff).

В исчислении высказываний у нас есть:
- пропозициональные буквы (или просто буквы; они же пропозициональные переменные, propositional letter, literal, propositional variable). На неформальном уровне они соответствуют простейшим суждениям, а на семантическом каждой из них приписывается истинностное значение.
- и пропозициональные формы/формулы, пропозиции, высказывания (proposition). Это правильно построенные формулы исчисления высказываний. На неформальном уровне - это суждения.

В исчислении предикатов у нас есть
- предикаты, термы, (индивидные) константы, (индивидные) переменные, функциональные буквы, с которыми, по всей видимости, проблем нет.
- формулы исчисления предикатов, выражающие некоторые отношения между вещами.
- замкнутые формулы, предложения (statement, также sentence, хотя я не помню такой терминологии, но в Мендельсоне так, и гугл тоже подсказывает). Они тоже выражают неформальное понятие суждения и в каждой интерпретации либо истинны, либо ложны.

Можно построить какое-нибудь формальное вложение ИВ в ИП, но, на мой взгляд, это особого смысла не имеет.

[Виктор Викторов]

Xaositect в сообщении #453717 писал(а):

Можно построить какое-нибудь формальное вложение ИВ в ИП, но, на мой взгляд, это особого смысла не имеет.

Мне кажется, что принципиально важна именно возможность такого построения. Тем более, что подошёл момент свойства (VII) «Всякий частный случай всякой тавтологии истинен во всякой интерпретации. (Частным случаем данной пропозициональной формы мы называем всякую формулу, получаемую подстановкой формул в эту пропозициональную форму вместо пропозициональных букв с тем условием, чтобы вместо всех вхождений одной и той же пропозициональной буквы подставлялась одна и та же формула.)»
Т. е. в пропозициональную форму подставили формулы исчисления предикатов. Трогательно, что лет через сорок после выхода первого издания, начиная с четвертого издания, после этого текста появился пример: «Таким образом, частным случаем $A_1\to \neg A_2\vee A_1$ будет $A_1^1(x_2)\to \neg(\forall x_1)A_2^1(x_1)\vee A_1^1(x_2)$».

(Оффтоп)

(Правда, дело не обошлось без опечатки, но я её исправил).

[Виктор Викторов]

О свойстве VIII я уже писал и проблемы отношения (свойства) интерпретации обсуждались здесь topic44155-15.html.
Свойство «(IX) Если формула $\mathscr A$ замкнута, то в любой данной интерпретации либо истинна $\mathscr A$, либо истинна $\neg \mathscr A$ (т. е. ложна $\mathscr A$).»
Об этом свойстве я писал в связи с введением понятия замыкания. Странно смотрится «в любой данной интерпретации». Это как? Либо «в любой», либо «в данной». Лезем в оригинал: «for any interpretation». Поэтому, правильно «в любой интерпретации». Но подождём клевать в данном случае переводчика. Мне кажется, что переводчик пытался исправить недоработку оригинала, хотя лучше это было сделать в примечании. Если написать «в любой интерпретации», то возникает ощущение, что замкнутая формула $\mathscr A$ истинна или ложна вне зависимости от интерпретации, а это, естественно, не так. Пример: Рассмотрим формулу $\forall x (x^2>0)$. Эта замкнутая формула истинна, если область интерпретации множество натуральных чисел, но ложна, если область интерпретации множество целых неотрицательных чисел.

[Виктор Викторов]

Свойство X к пятому изданию автор перетряхнул весьма к лучшему. В этом виде я его и представляю.
(X) Пусть терм $t$ свободен для $x_i$ в $\mathscr A(x_i)$. Тогда формула $\forall x\mathscr A(x_i)\to \mathscr A(t)$ истинна в каждой интерпретации.
Здесь все просто и прекрасно. Если посылка ложна, то импликация естественно истинна. Если же посылка истинна, то речь идет о истинности частного случая, когда выполняется общий. Это второй случай (после свойства VII), когда формула истинна для всех интерпретаций. И, именно, свойства VII, X и XI, истинные для всех интерпретаций, и являются основанием для аксиом теории К.

Для доказательства свойства X нужны две леммы.
Лемма 1. Пусть $t$ и $v$ — термы, $s$ — последовательность из $\sum$, $t'$ получается из $t$ подстановкой $v$ вместо всех вхождений $x_i$, и $s'$ получается из $s$ заменой в ней ее i-й компоненты на $s^*(v)$; тогда $s^*( t') = (s')^*(t)$.

Мы привыкли рассуждать, что произойдёт с формулой на последовательности. А здесь рассматривается вопрос о подстановке терма в терм.

Лемма 2. Пусть терм $t$ свободен для $x_i$ в $\mathscr A(x_i)$. Тогда:
(a) Формула $\mathscr A(t)$ выполнена на последовательности $s= (b_1, b_2, \cdots)$ тогда и только тогда, когда $\mathscr A(x_i)$ выполнена на последовательности $s'$, полученной из $s$ подстановкой $s^*( t)$ в $s$ вместо $b_i$.
(b) Если формула $\forall x\mathscr A(x_i)$ выполнена на последовательности $s$, тогда формула $\mathscr A(t)$ также выполнена на $s$.

[Виктор Викторов]

«(XI) Если формула $\mathscr A$ не содержит $x_i$ в качестве свободной переменной, то формула $\forall x_i(\mathscr A\to \mathscr B)\to (\mathscr A\to \forall x_i\mathscr B)$ истинна во всякой интерпретации.» После этого последнего свойства всё готово для введения понятия логической общезначимости и его «двойника» противоречия.

«Формула $\mathscr A$ называется логически общезначимой (в исчислении предикатов), если она истинна в каждой интерпретации.»
«Будем называть формулу $\mathscr A$ противоречием (в исчислении предикатов), если формула $\neg\mathscr A$ является логически общезначимой или, что то же самое, если формула $\mathscr A$ ложна во всякой интерпретации.»

Огорчает только определение выполнимой формулы: «Формула $\mathscr A$ называется выполнимой (в исчислении предикатов), если существует интерпретация, в которой $\mathscr A$ выполнена хотя бы на одной последовательности из $\sum$.» По этому определению логически общезначимая формула – выполнима. А хотелось бы иметь разбиение: логически общезначимые формулы, выполнимые (но не логически общезначимые!) и противоречия.