Задача Коши для ДУ второго порядка

[tpm01]

Уравнение $2(y^2+y)y''-(y^2+y+1)y'^2+y^3=0$
Граничные условия: $y(2)=1, y'(2)=-1$
Пробовала решить заменой для понижения порядка: $y'=p, p=p(y)$, получаю уравнение
$2(y^2+y)pp'-(y^2+y+1)p^2+y^3=0$ - здесь все знакомые способы перебрала, не получается. Если степень не понижать, записать через дифференциал тоже не получается. Подскажите хотя бы подход...

[Алексей К.]

А мне тут увиделось $2pp'=(p^2)'$. Такой подход подходит? Типа $p^2=u$.

[Someone]

Пеоенесите $y^3$ и поделите на $2(y^2+y)p$. Получится один из стандартных типов уравнений первого порядка.

Алексей К. в сообщении #452047 писал(а):

Такой подход подходит?

Ещё лучше.

[tpm01]

Алексей К., Someone спасибо огромное, $p^2=u$ очень помогло. Второй подход пробовала до того, как в тему написала, не получилось что-то...

[tpm01]

А дальше подскажите пожалуйста, делаю замену:
$p^2=u$, получаю уравнение:
$(y^2+y)u'-(y^2+y+1)u+y^3=0$ (*),
из этой формулы видно, что частным решением является $u=y$. Формулу для общего решения уравнения (*) получаю как для уравнения Риккати:
$u=y+\frac{ye^y}{C(1+y)}$ (подставила ее для проверки в исходное уравнение (*) - все сходится).
Далее какие-то нагромождения, если интегрировать дальше и находить общее решение для исходного уравнения $y(x)$.
Пробую на этом этапе подставить граничные условия (оба граничных условия даны для x=2),
$-1=-(1+\frac{eD}{(1+1)})^{0.5}$, откуда D=0
дальше нестыковка с граничными условиями...
может я что-то не так делаю?

[Алексей К.]

Я в дифурах не особо, просто увидел очевидное, и встрял.
Также мне непонятно, почему Вы Риккати упомянули. Уравнение (*) таковым не является.
Но Ваше общее решение действительно подходит. А в граничные условия вписывается именно найденное частное решение ($u=y,\;C=\infty$). И как бы дальше легко. Если я нигде не ошибся, будучи сейчас без справочников под рукой.

-- 31 май 2011, 00:22 --

$y=\left(2-\dfrac{x}2\right)^2$ — правильное решение? Г.У. удовлетворяет? Чо-то сил нет допроверить...

-- 31 май 2011, 00:27 --

tpm01 в сообщении #452098 писал(а):

Далее какие-то нагромождения,

Я вот тут вчера совет прочитал, которому наверняка следовал всегда:

ewert в сообщении #451579 писал(а):

Не забудьте после первого же интегрирования найти значение появившейся константы.

Может, Вы ему не следуете, и от того у Вас какие-то нагромождения?

[tpm01]

Алексей К. подходит.
Подставила в формулу для общего решения и получила его. Вот как раз частное решение с граничными условиями что-то не то.
Все дело в том, что я курс ДУ в Интуите прохожу, а там что называется "голые лекции". Лекции смотрю, вроде все понятно, но они без примеров. И практических занятий там нет... И чисто с этими лекциями сдать тесты (там надо решать ДУ) как по мне - не реально.
Вот, если $u=y$ то $y=\frac{(x+D)^2}{4}$
Но меня весьма смущает тот факт, что если полученный $y(x)$ продифференцировать и подставить туда условие $y'(2)=-1$, то оно не выполняется...

-- Пн май 30, 2011 22:36:21 --

Спасибо, наверное я где-то "-" упустила

-- Пн май 30, 2011 22:37:27 --

Зы а по Риккати менее навороченная формула получалась, чем если как линейное решать

[Алексей К.]

tpm01 в сообщении #452112 писал(а):

Но меня весьма смущает тот факт, что если полученный $y(x)$ продифференцировать и подставить туда условие $y'(2)=-1$, то оно не выполняется...

Вы, наверное, тоже спатки хотите. Запишите же Ваше $y'(x)$, и я сравню со своей версией...

-- 31 май 2011, 00:46 --

tpm01 в сообщении #452112 писал(а):

Зы а по Риккати менее навороченная формула получалась, чем если как линейное решать

Ну, я уже тоже подумал: если $0x^2+2x+1=0$ считать квадратным уравнением, то почему бы Ваше (*) не считать Риккати? Тем более, что Камке, до которого я наконец добрался, не оговорил, что $f(x)\not\equiv 0$ в определении $y'=f(x)y^2+g(x)y+h(x)$.

-- 31 май 2011, 00:53 --

tpm01 в сообщении #452112 писал(а):

Вот, если $u=y$ то $y=\frac{(x+D)^2}{4}$

Мне это не нравится. Давайте, если до конца не разобрались, запишем Ваши граничные условия в терминах новых переменных, $p,u$.

-- 31 май 2011, 00:56 --

tpm01 в сообщении #452112 писал(а):

Все дело в том, что я курс ДУ в Интуите прохожу

А я не знаю, что такое Интуит, и как это влияет на решения ДУ.

[tpm01]

После общего решения уравнения (*) я делала так:
подставляю граничные условия: $y(2)=1$ и $y'(2)=-1$ в уравнение (*), получаю:
$C=\infty$
и решение, соответствующее граничным условиям будет $y'=\pm \sqrt{y}$. Рассматриваю оба случая:
1) $y'=\sqrt{y}$, $y=(x+D)^2/4$ подставив $y(2)=1$ получаю $y=x^2/4$ не соответствует граничному условию $y'(2)=-1$
2) $y'=-\sqrt{y}$, $y=(-x+D)^2/4$ подставив $y(2)=1$ получаю $y=(2-x/2)^2$ это решение соответствует граничным условиям

-- Вт май 31, 2011 09:53:08 --

все, разобралась :) путаница у меня из-за "-" получилась, если взять $-\sqrt{y}=(x+D)/2$ тот же ответ получится.
А интуит это вот http://www.intuit.ru/ лекции на халяву можно изучать и тесты сдавать. С моей зарплатой второе высшее не потяну, да и диплом второй не нужен особо. Главное - знания :)

[Алексей К.]

tpm01 в сообщении #452098 писал(а):

Формулу для общего решения уравнения (*) получаю как для уравнения Риккати:
$u=y+\frac{ye^y}{C(1+y)}$

Думаю, при каких-то других обозначениях Вы вполне могли бы получить $u=y+\frac{Cye^y}{1+y}$. И тогда вместо непривычной бесконечности у нас было бы хорошее $C=0$.

Ну да, правильно разобрались в пп. 1) и 2).
Успехов.

[tpm01]

Алексей К., спасибо огромное за помощь