Второй геометрический смысл интегрирования у Выгодского

[dp]

Приветствую, никак не пойму у Выгодского в справочнике по высшей математике второй пример геометрического смысла интегрирования в конце § 295 стр 472 (с первым смыслом про интегральные линии все понятно).

Цитата:

Другой геометрический смысл интегрирования получится, если построить график KL (рис. 326) данной функци f(x). Пусть дуга KL целиком лежит выше оси ОХ. Проведем две ординаты аА и mM. Левую ординату аА будем считать неподвижной, а правую mM — подвижной. Площадь аАMm будет одной из первообразных для функции f(x) аргумента x = Оm (ср. § 292, п. 2).
Взяв вместо аА неподвижную ординату ЬВ, получим другую первообразную — площадь ЬВMm. Эти две первообразные отличаются на постоянную величину С = пл. аАВЬ.

(хотел тут вставить график из книжки, но я не могу создавать вложения)

Непонятно - "Площадь аАMm будет одной из первообразных для функции f(x)".
Площадь же это определенный интеграл. Который есть число, а не функция.
Да, Mm подвижна относительно оси OX. Но что-то все равно никак не могу понять этот геомерический смысл. Может кто-то поможет и объяснит чуть по-другому или более подробнее о чем тут речь?

[Joker_vD]

dp в сообщении #451838 писал(а):

Непонятно - "Площадь аАMm будет одной из первообразных для функции f(x)".Площадь же это определенный интеграл. Который есть число, а не функция.Да, Mm подвижна относительно оси OX. Но что-то все равно никак не могу понять этот геомерический смысл. Может кто-то поможет и объяснит чуть по-другому или более подробнее о чем тут речь?

Площадь aAMm зависит от положения Mm, разные положения — разные числа. Ну, такое вот явление и называется "функция".

[Алексей К.]

Текст нашёл (у меня это стр. 402), но не знаю, получится ли у меня среди ночи что-то пояснить.
Все первообразные функции $f(x)$ можно записать как $F(x;C)=\int f(x)\,dx=\text{некое~}G(x)+C$.
А можно и так: $F(x;a)=\int\limits_a^x f(t)\,dt=[G(x)+C]-[G(a)+C]=G(x)\underbrace{{}-G(a)}_{\text{\tiny бывшее~}+C}$.

Нет, пока найти слова (или понять, что же Вам непонятно) не получается. Может, утром прояснится...

[dp]

Когда порисовал - понял.
Если двигать $mM$ при неподвижной $aA$, и при каждом значении $m$ вычислять площадь $aAMm$ и ставить точку с координатами ($m$,текущая площать $aAMm$), то получим множество точек которые образуют график одной первообразной.
если $a$ выбрать другим, то этот график сместится по вертикали и получим другую первообразную.
Только тут еще один вопрос - можно ли получить данным способом все возможные первообразные? Есть ли такие первообразные которым не соответствует ни одно значение $a$ ?
Например если нарисовать график $x/2$, потом принять что $a=0$ и при этом $a$ нарисовать график первообразной для $x/2$, то получим первообразную $ x^2/4$.
Если принять $a=2$ , то получим первообразную $ x^2/4-1$.
Но непонятно при каком $a$ можно получить первообразную $ x^2/4+1$.

То есть получается что таким образом можно получить только те первообразные, которые имеют хотябы одну точку на оси $OX$

И как тут можно графики вставлять?

[Munin]

dp в сообщении #452308 писал(а):

Только тут еще один вопрос - можно ли получить данным способом все возможные первообразные?

Не всегда. Например, если у вас функция имеет ограниченную площадь под графиком на всей числовой прямой, то вы можете получить только первообразные, отличающиеся между собой максимум на эту площадь. А остальные первообразные - не получите. Рассмотрите, для примера, функцию $\max\{1-\lvert x\rvert,0\}.$ Вы не сможете получить первообразную, принимающую в нуле значение -1000.

dp в сообщении #452308 писал(а):

Но непонятно при каком $a$ можно получить первообразную $ x^2/4+1$ .

$a=-2,$ разумеется.

dp в сообщении #452308 писал(а):

И как тут можно графики вставлять?

1. Рисуете картинку.
2. Выкладываете на хостинг картинок.
3. Вставляете здесь изображение тегом img.

Или сложный способ:
1. Изучаете руководства по XYpic на форуме или где-то ещё.
2. Оформляете картинку как формулу средствами XYpic.

[dp]

Munin в сообщении #452340 писал(а):

dp в сообщении #452308 писал(а):

Но непонятно при каком $a$ можно получить первообразную $ x^2/4+1$ .

$a=-2,$ разумеется.

Не понимаю. Ведь в случае когда $mM$ совпадает с $aA$ площадь $aAMm$ равна нулю.
То есть график первообразной должен пересекать $OX $или лежать на $OX$. При $a=-2 ось $OX$ пересекает не $x^2/4+1$, а левая ветвь $x^2/4-1$.

Munin в сообщении #452340 писал(а):

dp в сообщении #452308 писал(а):

И как тут можно графики вставлять?

1. Рисуете картинку.
2. Выкладываете на хостинг картинок.
3. Вставляете здесь изображение тегом img.

Или сложный способ:
1. Изучаете руководства по XYpic на форуме или где-то ещё.
2. Оформляете картинку как формулу средствами XYpic.

XYpic не может рисовать графики, а рисовать графики руками из кусков кривых безье - это перебор. У меня есть векторный редактор Inkscape, он может сохранять в LaTeX, но только в формате PSTricks, это было бы более-менее удобно. Но насколько я понял на данном форуме PSTricks не поддерживается.
Редактора который умеет сохранять в XYpic не нашел. Есть ли что-то такое в чем можно нарисовать и потом сохранить в формате который понимает этот форум?
Хочется конечно правильно рисовать картинки, без внешних бесплатных хостингов.

[Munin]

dp в сообщении #452536 писал(а):

При $a=-2$ ось $OX$ пересекает не $x^2/4+1$, а левая ветвь $x^2/4-1$.

Да, вы правы, я ступил. Да, вы нашли ещё один пример, когда способ даёт не все первообразные, отличный от моего.

Собственно, способ даёт не все первообразные, когда какая-то любая первообразная ограничена сверху или снизу на всей числовой оси. Сформулировать, как это условие выглядит для самой функции, будет многословно.

dp в сообщении #452536 писал(а):

Есть ли что-то такое в чем можно нарисовать и потом сохранить в формате который понимает этот форум?Хочется конечно правильно рисовать картинки, без внешних бесплатных хостингов.

Боюсь, такого здесь нет, а если бы было, то перегрузило бы форум. Картинки-то потяжелей формул будут. Впрочем, я не админ, задайте вопрос в "Работу форума".