2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Второй геометрический смысл интегрирования у Выгодского
Сообщение30.05.2011, 00:02 
Аватара пользователя


26/01/09
137
made in USSR
Приветствую, никак не пойму у Выгодского в справочнике по высшей математике второй пример геометрического смысла интегрирования в конце § 295 стр 472 (с первым смыслом про интегральные линии все понятно).

Цитата:
Другой геометрический смысл интегрирования получится, если построить график KL (рис. 326) данной функци f(x). Пусть дуга KL целиком лежит выше оси ОХ. Проведем две ординаты аА и mM. Левую ординату аА будем считать неподвижной, а правую mM — подвижной. Площадь аАMm будет одной из первообразных для функции f(x) аргумента x = Оm (ср. § 292, п. 2).
Взяв вместо аА неподвижную ординату ЬВ, получим другую первообразную — площадь ЬВMm. Эти две первообразные отличаются на постоянную величину С = пл. аАВЬ.

(хотел тут вставить график из книжки, но я не могу создавать вложения)

Непонятно - "Площадь аАMm будет одной из первообразных для функции f(x)".
Площадь же это определенный интеграл. Который есть число, а не функция.
Да, Mm подвижна относительно оси OX. Но что-то все равно никак не могу понять этот геомерический смысл. Может кто-то поможет и объяснит чуть по-другому или более подробнее о чем тут речь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Второй геометрический смысл интегрирования у Выгодского
Сообщение30.05.2011, 00:22 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
dp в сообщении #451838 писал(а):
Непонятно - "Площадь аАMm будет одной из первообразных для функции f(x)".Площадь же это определенный интеграл. Который есть число, а не функция.Да, Mm подвижна относительно оси OX. Но что-то все равно никак не могу понять этот геомерический смысл. Может кто-то поможет и объяснит чуть по-другому или более подробнее о чем тут речь?

Площадь aAMm зависит от положения Mm, разные положения — разные числа. Ну, такое вот явление и называется "функция".

 Профиль  
                  
 
 Re: Второй геометрический смысл интегрирования у Выгодского
Сообщение30.05.2011, 00:34 


29/09/06
4552
Текст нашёл (у меня это стр. 402), но не знаю, получится ли у меня среди ночи что-то пояснить.
Все первообразные функции $f(x)$ можно записать как $F(x;C)=\int f(x)\,dx=\text{некое~}G(x)+C$.
А можно и так: $F(x;a)=\int\limits_a^x f(t)\,dt=[G(x)+C]-[G(a)+C]=G(x)\underbrace{{}-G(a)}_{\text{\tiny бывшее~}+C}$.

Нет, пока найти слова (или понять, что же Вам непонятно) не получается. Может, утром прояснится...

 Профиль  
                  
 
 Re: Второй геометрический смысл интегрирования у Выгодского
Сообщение31.05.2011, 17:56 
Аватара пользователя


26/01/09
137
made in USSR
Когда порисовал - понял.
Если двигать $mM$ при неподвижной $aA$, и при каждом значении $m$ вычислять площадь $aAMm$ и ставить точку с координатами ($m$,текущая площать $aAMm$), то получим множество точек которые образуют график одной первообразной.
если $a$ выбрать другим, то этот график сместится по вертикали и получим другую первообразную.
Только тут еще один вопрос - можно ли получить данным способом все возможные первообразные? Есть ли такие первообразные которым не соответствует ни одно значение $a$ ?
Например если нарисовать график $x/2$, потом принять что $a=0$ и при этом $a$ нарисовать график первообразной для $x/2$, то получим первообразную $ x^2/4$.
Если принять $a=2$ , то получим первообразную $ x^2/4-1$.
Но непонятно при каком $a$ можно получить первообразную $ x^2/4+1$.

То есть получается что таким образом можно получить только те первообразные, которые имеют хотябы одну точку на оси $OX$

И как тут можно графики вставлять?

 Профиль  
                  
 
 Re: Второй геометрический смысл интегрирования у Выгодского
Сообщение31.05.2011, 19:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
dp в сообщении #452308 писал(а):
Только тут еще один вопрос - можно ли получить данным способом все возможные первообразные?

Не всегда. Например, если у вас функция имеет ограниченную площадь под графиком на всей числовой прямой, то вы можете получить только первообразные, отличающиеся между собой максимум на эту площадь. А остальные первообразные - не получите. Рассмотрите, для примера, функцию $\max\{1-\lvert x\rvert,0\}.$ Вы не сможете получить первообразную, принимающую в нуле значение -1000.

dp в сообщении #452308 писал(а):
Но непонятно при каком $a$ можно получить первообразную $ x^2/4+1$ .

$a=-2,$ разумеется.

dp в сообщении #452308 писал(а):
И как тут можно графики вставлять?

1. Рисуете картинку.
2. Выкладываете на хостинг картинок.
3. Вставляете здесь изображение тегом img.

Или сложный способ:
1. Изучаете руководства по XYpic на форуме или где-то ещё.
2. Оформляете картинку как формулу средствами XYpic.

 Профиль  
                  
 
 Re: Второй геометрический смысл интегрирования у Выгодского
Сообщение01.06.2011, 10:43 
Аватара пользователя


26/01/09
137
made in USSR
Munin в сообщении #452340 писал(а):
dp в сообщении #452308 писал(а):
Но непонятно при каком $a$ можно получить первообразную $ x^2/4+1$ .

$a=-2,$ разумеется.



Не понимаю. Ведь в случае когда $mM$ совпадает с $aA$ площадь $aAMm$ равна нулю.
То есть график первообразной должен пересекать $OX $или лежать на $OX$. При $a=-2 ось $OX$ пересекает не $x^2/4+1$, а левая ветвь $x^2/4-1$.


Munin в сообщении #452340 писал(а):
dp в сообщении #452308 писал(а):
И как тут можно графики вставлять?

1. Рисуете картинку.
2. Выкладываете на хостинг картинок.
3. Вставляете здесь изображение тегом img.

Или сложный способ:
1. Изучаете руководства по XYpic на форуме или где-то ещё.
2. Оформляете картинку как формулу средствами XYpic.



XYpic не может рисовать графики, а рисовать графики руками из кусков кривых безье - это перебор. У меня есть векторный редактор Inkscape, он может сохранять в LaTeX, но только в формате PSTricks, это было бы более-менее удобно. Но насколько я понял на данном форуме PSTricks не поддерживается.
Редактора который умеет сохранять в XYpic не нашел. Есть ли что-то такое в чем можно нарисовать и потом сохранить в формате который понимает этот форум?
Хочется конечно правильно рисовать картинки, без внешних бесплатных хостингов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Второй геометрический смысл интегрирования у Выгодского
Сообщение01.06.2011, 16:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
dp в сообщении #452536 писал(а):
При $a=-2$ ось $OX$ пересекает не $x^2/4+1$, а левая ветвь $x^2/4-1$.

Да, вы правы, я ступил. Да, вы нашли ещё один пример, когда способ даёт не все первообразные, отличный от моего.

Собственно, способ даёт не все первообразные, когда какая-то любая первообразная ограничена сверху или снизу на всей числовой оси. Сформулировать, как это условие выглядит для самой функции, будет многословно.

dp в сообщении #452536 писал(а):
Есть ли что-то такое в чем можно нарисовать и потом сохранить в формате который понимает этот форум?Хочется конечно правильно рисовать картинки, без внешних бесплатных хостингов.

Боюсь, такого здесь нет, а если бы было, то перегрузило бы форум. Картинки-то потяжелей формул будут. Впрочем, я не админ, задайте вопрос в "Работу форума".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group