2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задачи по теории групп: Циклические группы
Сообщение27.05.2011, 16:13 


23/05/11
26
1) Сколько существует гомоморфизмов из $C_m$ в $C_n$? Сколько из них сюръекций? Сколько инъекций?

2) Какие группы изоморфны? $C_{15}\times{C_{21}}\times{C_{10}}, C_{18}\times{C_{35}}\times{C_{5}}, C_{35}\times{C_{30}}\times{C_{3}}$

-- Пт май 27, 2011 17:15:51 --

В обоих задачах, я подозреваю, существуют непереборные решения, а основанные на каких-то общих соображениях :-) но не могу ни в одной продвинуться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по теории групп: Циклические группы
Сообщение27.05.2011, 21:07 


25/08/05
645
Україна
Evervoid в сообщении #450821 писал(а):
В обоих задачах, я подозреваю, существуют непереборные решения, а основанные на каких-то общих соображениях :-) но не могу ни в одной продвинуться.


Ну например такое соображение - ядро гомоморфизма - подгрупа. Опишите подгрупы циклической группы, ето сразу уменшит количество вариантов перебора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по теории групп: Циклические группы
Сообщение27.05.2011, 21:41 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Evervoid в сообщении #450821 писал(а):
2) Какие группы изоморфны? $C_{15}\times{C_{21}}\times{C_{10}}, C_{18}\times{C_{35}}\times{C_{5}}, C_{35}\times{C_{30}}\times{C_{3}}$


Найдите в общем виде $C_m \times C_n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по теории групп: Циклические группы
Сообщение27.05.2011, 21:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
874
Evervoid, ответ на оба вопроса легко дать, если использовать теорему, описывающую структуру конечной абелевой группы. См., например, теорему 3.3.1 (на стр. 50) в книге
Холл М. Теория групп, 1962 (08058.djvu - электронная библиотека мехмата).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по теории групп: Циклические группы
Сообщение28.05.2011, 07:36 
Аватара пользователя


17/04/11
658
Ukraine
lek в сообщении #450955 писал(а):
ответ на оба вопроса легко дать, если использовать теорему, описывающую структуру конечной абелевой группы

Так как здесь конечные циклические группы, то есть частный случай, то, я думаю, можно использовать что-то попроще, типа китайской теоремы об остатках.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по теории групп: Циклические группы
Сообщение28.05.2011, 07:49 
Заслуженный участник


27/06/08
4063
Волгоград
beroal в сообщении #451056 писал(а):
lek в сообщении #450955 писал(а):
ответ на оба вопроса легко дать, если использовать теорему, описывающую структуру конечной абелевой группы

Так как здесь конечные циклические группы, то есть частный случай, то, я думаю, можно использовать что-то попроще, типа китайской теоремы об остатках.
А по-моему, здесь, как раз, самый что ни на есть общий случай конечных абелевых групп. Среди трех данных групп нет ни одной циклической.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по теории групп: Циклические группы
Сообщение28.05.2011, 08:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
Во второй lek и Sonic86 издалековато зашли, хотя в общем то верно - надо просто доразложить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по теории групп: Циклические группы
Сообщение28.05.2011, 08:29 
Аватара пользователя


17/04/11
658
Ukraine
VAL в сообщении #451058 писал(а):
beroal в сообщении #451056 писал(а):
lek в сообщении #450955 писал(а):
ответ на оба вопроса легко дать, если использовать теорему, описывающую структуру конечной абелевой группы

Так как здесь конечные циклические группы, то есть частный случай, то, я думаю, можно использовать что-то попроще, типа китайской теоремы об остатках.
А по-моему, здесь, как раз, самый что ни на есть общий случай конечных абелевых групп. Среди трех данных групп нет ни одной циклической.

Зато компоненты $C_n$ циклические.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по теории групп: Циклические группы
Сообщение28.05.2011, 08:42 
Заслуженный участник


27/06/08
4063
Волгоград
beroal в сообщении #451067 писал(а):
VAL в сообщении #451058 писал(а):
beroal в сообщении #451056 писал(а):
Так как здесь конечные циклические группы, то есть частный случай, то, я думаю, можно использовать что-то попроще, типа китайской теоремы об остатках.
А по-моему, здесь, как раз, самый что ни на есть общий случай конечных абелевых групп. Среди трех данных групп нет ни одной циклической.

Зато компоненты $C_n$ циклические.
А разве бывают конечные абелевы группы, у которых компоненты не циклические?!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по теории групп: Циклические группы
Сообщение28.05.2011, 08:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
874
beroal в сообщении #451067 писал(а):
надо просто доразложить

Конечно :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по теории групп: Циклические группы
Сообщение28.05.2011, 09:44 


23/05/11
26
Спасибо всем ответившим!
я подумал тут, что их компоненты отдельные можно раскладывать на взаимнопростые, это ведь так? И про изоморфизме порядок в прямом произведении не важен, тогда первая и третья группы будут изоморфны, а вторая им нет (потому что там есть $C_{18}$). Наверное так

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по теории групп: Циклические группы
Сообщение28.05.2011, 09:58 
Заслуженный участник


27/06/08
4063
Волгоград
Evervoid в сообщении #451081 писал(а):
Спасибо всем ответившим!
я подумал тут, что их компоненты отдельные можно раскладывать на взаимнопростые, это ведь так? И про изоморфизме порядок в прямом произведении не важен, тогда первая и третья группы будут изоморфны, а вторая им нет (потому что там есть $C_{18}$). Наверное так
Угу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по теории групп: Циклические группы
Сообщение28.05.2011, 11:47 
Аватара пользователя


17/04/11
658
Ukraine

(Оффтоп)

VAL в сообщении #451071 писал(а):
А разве бывают конечные абелевы группы, у которых компоненты не циклические?!

$(\mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/2)\times \mathbb{Z}/2$ — левый компонент, который в скобках, не есть циклический. Хотя я не понимаю, какое это имеет отношение к теме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по теории групп: Циклические группы
Сообщение28.05.2011, 11:55 
Заслуженный участник


27/06/08
4063
Волгоград

(Оффтоп)

beroal в сообщении #451119 писал(а):
VAL в сообщении #451071 писал(а):
А разве бывают конечные абелевы группы, у которых компоненты не циклические?!

$(\mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/2)\times \mathbb{Z}/2$ — левый компонент, который в скобках, не есть циклический.
А разве это не изоморфно $\mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по теории групп: Циклические группы
Сообщение28.05.2011, 14:28 
Аватара пользователя


17/04/11
658
Ukraine

(Оффтоп)

VAL в сообщении #451124 писал(а):
beroal в сообщении #451119 писал(а):
VAL в сообщении #451071 писал(а):
А разве бывают конечные абелевы группы, у которых компоненты не циклические?!

$(\mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/2)\times \mathbb{Z}/2$ — левый компонент, который в скобках, не есть циклический.
А разве это не изоморфно $\mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/2$?

Я не понимаю, к чему ваш вопрос. Я разложил некоторую группу на два множителя, один из них не циклический. Давайте лучше прекратим бесполезную дискуссию.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group