Задачи по теории групп: Циклические группы

[Evervoid]

1) Сколько существует гомоморфизмов из $C_m$ в $C_n$? Сколько из них сюръекций? Сколько инъекций?

2) Какие группы изоморфны? $C_{15}\times{C_{21}}\times{C_{10}}, C_{18}\times{C_{35}}\times{C_{5}}, C_{35}\times{C_{30}}\times{C_{3}}$

-- Пт май 27, 2011 17:15:51 --

В обоих задачах, я подозреваю, существуют непереборные решения, а основанные на каких-то общих соображениях но не могу ни в одной продвинуться.

[Leox]

Evervoid в сообщении #450821 писал(а):

В обоих задачах, я подозреваю, существуют непереборные решения, а основанные на каких-то общих соображениях но не могу ни в одной продвинуться.

Ну например такое соображение - ядро гомоморфизма - подгрупа. Опишите подгрупы циклической группы, ето сразу уменшит количество вариантов перебора.

[Sonic86]

Evervoid в сообщении #450821 писал(а):

2) Какие группы изоморфны? $C_{15}\times{C_{21}}\times{C_{10}}, C_{18}\times{C_{35}}\times{C_{5}}, C_{35}\times{C_{30}}\times{C_{3}}$

Найдите в общем виде $C_m \times C_n$.

[lek]

Evervoid, ответ на оба вопроса легко дать, если использовать теорему, описывающую структуру конечной абелевой группы. См., например, теорему 3.3.1 (на стр. 50) в книге
Холл М. Теория групп, 1962 (08058.djvu - электронная библиотека мехмата).

[beroal]

lek в сообщении #450955 писал(а):

ответ на оба вопроса легко дать, если использовать теорему, описывающую структуру конечной абелевой группы

Так как здесь конечные циклические группы, то есть частный случай, то, я думаю, можно использовать что-то попроще, типа китайской теоремы об остатках.

[VAL]

beroal в сообщении #451056 писал(а):

lek в сообщении #450955 писал(а):

ответ на оба вопроса легко дать, если использовать теорему, описывающую структуру конечной абелевой группы

Так как здесь конечные циклические группы, то есть частный случай, то, я думаю, можно использовать что-то попроще, типа китайской теоремы об остатках.

А по-моему, здесь, как раз, самый что ни на есть общий случай конечных абелевых групп. Среди трех данных групп нет ни одной циклической.

[bot]

Во второй lek и Sonic86 издалековато зашли, хотя в общем то верно - надо просто доразложить.

[beroal]

VAL в сообщении #451058 писал(а):

beroal в сообщении #451056 писал(а):

lek в сообщении #450955 писал(а):

ответ на оба вопроса легко дать, если использовать теорему, описывающую структуру конечной абелевой группы

Так как здесь конечные циклические группы, то есть частный случай, то, я думаю, можно использовать что-то попроще, типа китайской теоремы об остатках.

А по-моему, здесь, как раз, самый что ни на есть общий случай конечных абелевых групп. Среди трех данных групп нет ни одной циклической.

Зато компоненты $C_n$ циклические.

[VAL]

beroal в сообщении #451067 писал(а):

VAL в сообщении #451058 писал(а):

beroal в сообщении #451056 писал(а):

Так как здесь конечные циклические группы, то есть частный случай, то, я думаю, можно использовать что-то попроще, типа китайской теоремы об остатках.

А по-моему, здесь, как раз, самый что ни на есть общий случай конечных абелевых групп. Среди трех данных групп нет ни одной циклической.

Зато компоненты $C_n$ циклические.

А разве бывают конечные абелевы группы, у которых компоненты не циклические?!

[lek]

beroal в сообщении #451067 писал(а):

надо просто доразложить

Конечно

[Evervoid]

Спасибо всем ответившим!
я подумал тут, что их компоненты отдельные можно раскладывать на взаимнопростые, это ведь так? И про изоморфизме порядок в прямом произведении не важен, тогда первая и третья группы будут изоморфны, а вторая им нет (потому что там есть $C_{18}$). Наверное так

[VAL]

Evervoid в сообщении #451081 писал(а):

Спасибо всем ответившим!
я подумал тут, что их компоненты отдельные можно раскладывать на взаимнопростые, это ведь так? И про изоморфизме порядок в прямом произведении не важен, тогда первая и третья группы будут изоморфны, а вторая им нет (потому что там есть $C_{18}$). Наверное так

Угу.

[beroal]

(Оффтоп)

VAL в сообщении #451071 писал(а):

А разве бывают конечные абелевы группы, у которых компоненты не циклические?!

$(\mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/2)\times \mathbb{Z}/2$ — левый компонент, который в скобках, не есть циклический. Хотя я не понимаю, какое это имеет отношение к теме.

[VAL]

(Оффтоп)

beroal в сообщении #451119 писал(а):

VAL в сообщении #451071 писал(а):

А разве бывают конечные абелевы группы, у которых компоненты не циклические?!

$(\mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/2)\times \mathbb{Z}/2$ — левый компонент, который в скобках, не есть циклический.

А разве это не изоморфно $\mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/2$?

[beroal]

(Оффтоп)

VAL в сообщении #451124 писал(а):

beroal в сообщении #451119 писал(а):

VAL в сообщении #451071 писал(а):

А разве бывают конечные абелевы группы, у которых компоненты не циклические?!

$(\mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/2)\times \mathbb{Z}/2$ — левый компонент, который в скобках, не есть циклический.

А разве это не изоморфно $\mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/2\times \mathbb{Z}/2$?

Я не понимаю, к чему ваш вопрос. Я разложил некоторую группу на два множителя, один из них не циклический. Давайте лучше прекратим бесполезную дискуссию.