Объем тела вращения

[Dan B-Yallay]

Куда $2\pi$ сбежала?

[integral2009]

Dan B-Yallay в сообщении #449793 писал(а):

Куда $2\pi$ сбежала?

Точно, еще эту штуку нужно умножить на $2\pi$!!!
Спасибо!

$\dfrac{320\pi}{21}$ будет тогда

[Алексей К.]

integral2009 в сообщении #449747 писал(а):

$$=\dfrac{16\cdot2^2}{3}-\ldots=\dfrac{160}{21}$$

$$\int_0^2 16t^2\;dt=\frac{16\cdot 2^{\text{в какой-какой степени?}}}3$$

[integral2009]

Алексей К. в сообщении #449975 писал(а):

integral2009 в сообщении #449747 писал(а):

$$=\dfrac{16\cdot2^2}{3}-\ldots=\dfrac{160}{21}$$

$$\int_0^2 16t^2\;dt=\frac{16\cdot 2^{\text{в какой-какой степени?}}}3$$

Тут я запутался,точно, спасибо! Но в итоге получается, что объем отрицательный...(

Нужно взять модуль?!

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%284t-t^3%29^2%281-t%29+from+0+to+2

[integral2009]

Вот-с

[Алексей К.]

Вы как-то формально подошли к той первой формуле, по которой считали объём, не обдумали пределы интегрирования.
Вы так и не разобрались (или нам не рассказали), что это за фигура. Я, например, на указанной кривой видел замкнутую петельку при $0\le t\le 2$, кажется. Мы получаем тело именно вращением этой петельки (это должно было фигурировать в условии задачи явно, а не домысливаться)? Да? Петельку вращаем?

Ну так посмотрите на исходную формулу: что за объём в ней закодирован? Что там в роли пи-эр-квадрат выступает?
Я бы применил её дважды. Для верхней дуги петли и для нижней. Потом бы из одного объёма другой вычел.

Если, конечно, мы с петелькой имеем дело.

-- 25 май 2011, 17:14 --

integral2009 в сообщении #450025 писал(а):

Тут я запутался,точно, спасибо! Но в итоге получается, что объем отрицательный...(

Вообще-то я предлагал только увеличить первое положительное слагаемое (заменив $2^2$ на $2^3$), отчего объём должен был сделаться ещё более положительным. Видать, Вы и другие ляпы нашли.

-- 25 май 2011, 17:18 --

integral2009 в сообщении #450025 писал(а):

Нужно взять модуль?!

Модуль нужно брать тогда, когда ясно, что по тем или иным причинам нужно взять модуль. В Вашей формуле, очевидно, подинтегральная функция положительна, $dx$ должен быть естественно-положителен. Стало быть, никаких модулей не нужно.

[Yu_K]

Модуль можно взять - ничего страшного. Интегрировать можно по всей петле - не разбивая ее на части - так как при движении по одной части петли (по верхней) интеграл будет положительным, по другой (по нижней) отрицательным или наоборот, знак зависит от того, как обходится замкнутый контур. На примере тора это хорошо видно - только там надо поправить немного формулу - я там квадрат потерял $V=2\pi^2 R r^2$, просто при $r=1$ утерянный квадрат никак себя не проявил.

[Алексей К.]

Вот ежели у товарисча имеется столь глубокое понимание используемой им формулы

integral2009 писал(а):

$V = \pi \int_a^b f^2(x) \,dx$

, того, что когда-то $dx<0$ сработает, то можно брать модули...

[integral2009]

Алексей К. в сообщении #450074 писал(а):

Вы как-то формально подошли к той первой формуле, по которой считали объём, не обдумали пределы интегрирования.
Вы так и не разобрались (или нам не рассказали), что это за фигура. Я, например, на указанной кривой видел замкнутую петельку при $0\le t\le 2$, кажется. Мы получаем тело именно вращением этой петельки (это должно было фигурировать в условии задачи явно, а не домысливаться)? Да? Петельку вращаем?

Да, я с этим согласен, по точкам построил, получилась петелька)

Алексей К. в сообщении #450074 писал(а):

Ну так посмотрите на исходную формулу: что за объём в ней закодирован? Что там в роли пи-эр-квадрат выступает?

В роли пи-эр-квадрат закодирована площадь, которая вращается) Чтобы найти объем бублика тора, нужно умножить на \pi r^2$
В формуле закодирован объем тора!

Алексей К. в сообщении #450074 писал(а):

Я бы применил её дважды. Для верхней дуги петли и для нижней. Потом бы из одного объёма другой вычел.

Т.е. мы площадь петельки должны умножить на $\pi R$ для тела, получающегося в результате
вращения верхней петельки --- получим объем тела в верхней полуплоскости. Для нижней полуплоскости такой же объем. Значит умножаем объем "верхнего" тела на 2 и это и будет искомый объем?!

integral2009 в сообщении #450025 писал(а):

Тут я запутался,точно, спасибо! Но в итоге получается, что объем отрицательный...(Вообще-то я предлагал только увеличить первое положительное слагаемое (заменив $2^2$ на $2^3$), отчего объём должен был сделаться ещё более положительным. Видать, Вы и другие ляпы нашли.

Согласен, там были ошибки, но отрицательной объем выдал компьютер, а он реже ошибается, а значит я как-то неправильно формулой воспользовался)

P.S. Спасибо за помощь, про тор более-менее понял!

-- Ср май 25, 2011 18:10:17 --

Yu_K в сообщении #450101 писал(а):

Модуль можно взять - ничего страшного. Интегрировать можно по всей петле - не разбивая ее на части - так как при движении по одной части петли (по верхней) интеграл будет положительным, по другой (по нижней) отрицательным или наоборот, знак зависит от того, как обходится замкнутый контур. На примере тора это хорошо видно - только там надо поправить немного формулу - я там квадрат потерял $V=2\pi^2 R r^2$, просто при $r=1$ утерянный квадрат никак себя не проявил.

Спасибо, единственное, что осталось не понятым про Тор -- это почему $r=1$?
Подозреваю, что это $\pi r^2$ - это площадь поперечного сечения (кольца)
$\pi R^2$ площадь круга, который мы вращаем)

[integral2009]

Алексей К. в сообщении #450112 писал(а):

Вот ежели у товарисча имеется столь глубокое понимание используемой им формулы

integral2009 писал(а):

$V = \pi \int_a^b f^2(x) \,dx$

, того, что когда-то $dx<0$ сработает, то можно брать модули...

Значит все-таки можно, спасибо)

[Yu_K]

integral2009

Цитата:

Спасибо, единственное, что осталось не понятым про Тор - это почему $r=1$?

В примере вращается окружность радиуса 1.

Формула простая на самом деле - Вы просто разрезаете тело вращения на тонкие блины и суммируете объемы этих блинов.

integral2009
Вопрос для закрепления темы - какой из объемов больше - который получается при вращении вашей петли вокруг оси ОХ или тот который получается при вращении этой же петли вокруг оси ОУ?

[integral2009]

Yu_K в сообщении #450289 писал(а):

integral2009

Цитата:

Спасибо, единственное, что осталось не понятым про Тор - это почему $r=1$?

В примере вращается окружность радиуса 1.

Формула простая на самом деле - Вы просто разрезаете тело вращения на тонкие блины и суммируете объемы этих блинов.

integral2009
Вопрос для закрепления темы - какой из объемов больше - который получается при вращении вашей петли вокруг оси ОХ или тот который получается при вращении этой же петли вокруг оси ОУ?

Вокруг $Ox$ больше, так как больше $R$!

[Yu_K]

integral2009
А что такое $R$ для Вашей петли?

[integral2009]

Yu_K в сообщении #450494 писал(а):

integral2009
А что такое $R$ для Вашей петли?

Я так понимаю, что $R=\dfrac{\sqrt{1^2+3^2}}2=\dfrac{\sqrt{10}}2$

Так как в примере с тором $R=3$ - радиус, по которому вращается центр круга!

[Yu_K]

Очень интересно... это $R_{OX}=3$ - а чему тогда равно $R_{OY}$? Еще немного продвинуться вперед и Вы принцип Кавальери должны открыть.