Объем тела вращения

[integral2009]

Вращение вокруг оси $0x$

Вот-с

$$\begin{cases} x=t-t^2 \\ y=2t-t^3 \\ \end{cases}$$

Как быть с этой штуковиной, которая проходит через начало координат?)

$V = \pi \int_a^b f^2(x) \,dx$

Можно, конечно, исключить $t$ из уравнений, но есть ли иной способ?))

[Yu_K]

Подставляйте в формулу выражения для $x(t), y(t)$ - пример здесь http://www.math24.ru/geometric-applicat ... grals.html

[mihailm]

Выбрать t при которых получится то что вращать удобно
f(x) замените на y и смело (но аккуратно) подставляйте что есть

[integral2009]

Спс))

$V = \pi \int\limits_a^b (2t-t^3)^2 \,d(2t-t^3)=\pi \int\limits_a^b (2t-t^3)^2\cdot(2-3t^2)dt $

А как найти точки $a$ и $b$

Удобная точка $(0;0)$

[integral2009]

(((((

[Yu_K]

Свою плоскую кривую нарисуйте примерно и станет понятно. Она не очень красивая - может что-то в условии напутали? Или может даны ограничения в условии?

[integral2009]

Yu_K в сообщении #449083 писал(а):

Свою плоскую кривую нарисуйте примерно и станет понятно. Она не очень красивая - может что-то в условии напутали? Или может даны ограничения в условии?

Спасибо, точно))Должно быть так!

$$\begin{cases} x=2t-t^2 \\ y=4t-t^3 \\ \end{cases}$$

Поможет ли то, что мы найдем точки пересечения?)

$4t-t^3=2t-t^2$

$t^3-t^2-2t=t(t^2-t-2)=t(t+1)(t-2)=0$

$t_1=0$ ; $t_2=-1$ ; $t_3=2$

$$V_{\sum} = \pi \int\limits_{-1}^2 (4t-t^3)^2 \,d(2t-t^2)= \pi \int\limits_{-1}^2 (4t-t^3)^2\cdot(2-2t)dt= 2\pi \int\limits_{-1}^2 (4t-t^3)^2\cdot(1-t)dt=$$

$$=2\pi \int\limits_{-1}^2 (16t^2-8t^4+t^6)\cdot(1-t)dt= 2\pi \int\limits_{-1}^2 (16t^2-8t^4+t^6-16t^3+8t^5-t^7)dt=\text{какое-то число}$$

Правильно?!

[Yu_K]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=pa ... t%3D0..2pi пример параметрической кривой.

У Вас похоже пределы будут по $t$ от 0 до 2.

Объем тора просто считается, если посмотреть вращение вокруг оси ОХ параметрической кривой
$x(t)=rcos(t)$
$y(t)=R+rsin(t)$.

[integral2009]

Yu_K в сообщении #449190 писал(а):

http://www.wolframalpha.com/input/?i=parametric+plot+%28sin+10t%2C+sin+8t%29%2C+t%3D0..2pi пример параметрической кривой.

У Вас похоже пределы будут по $t$ от 0 до 2.

Объем тора просто считается, если посмотреть вращение вокруг оси ОХ параметрической кривой
$x(t)=rcos(t)$
$y(t)=R+rsin(t)$.

Спасибо, но не понял -- откуда взялись синусы и косинусы и тор))

[Yu_K]

Тор - как пример объемной фигуры, с которой просто разобраться с пределами. Как выглядит Ваша плоская кривая на плоскости ХУ - тоже будет некоторая замкнутая ограниченная часть плоскости?

[integral2009]

Yu_K в сообщении #449201 писал(а):

Тор - как пример объемной фигуры, с которой просто разобраться с пределами. Как выглядит Ваша плоская кривая на плоскости ХУ - тоже будет некоторая замкнутая ограниченная часть плоскости?

Если бы я знал, как выглядит кривая в плоскости $XY$, то скорее всего, посчитал бы уже)

Правильно ли я понимаю, что нужно найти такие $R$ и $r$,что
$2t-t^2=rcos(t)$
$4t-t^3=R+rsin(t)$.[/quote]
???

[Алексей К.]

integral2009 в сообщении #449179 писал(а):

Поможет ли то, что мы найдем точки пересечения?)

Нет. Вы нашли точки, в которых $x=y$. Никакого интереса они для этой задачи не представляют.

integral2009 в сообщении #449202 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что нужно найти такие R и r,что

Нет.

integral2009 в сообщении #449202 писал(а):

Если бы я знал, как выглядит кривая в плоскости XY, то скорее всего, посчитал бы уже)

Так в чём же дело? Вам же уже показали.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=parametric+plot+%282t-t^2%2C4t-t^3%29%2C+t%3D-1..3

[Yu_K]

Ссылка что-то не срабатывает у Алексея.

На досуге посмотрите что такое параметрическая кривая - можете погуглить - ничего сложного. Построить Вашу кривую несложно - задаем значение параметра
$t=0$, ставим точку $(x(0),y(0))$ на координатной плоскости, далее берем следующее значение параметра
$t=0.1$, ставим точку $(x(0.1),y(0.1))$, далее
$t=0.2$, ставим точку $(x(0.2),y(0.2))$ и т.д. соединяем точки - получаем кривую.

Зря наверное Вам пример с тором привел... он Вас с толку сбил окончательно. Пример с тором доведем до конца - пусть дана параметрическая кривая
$x(t)=sin(t), y(t)=3+cos(t)$ - выглядит так эта кривая - так
http://www.wolframalpha.com/input/?i=parametric+plot+%28sin%28t%29%2C3%2Bcos%28t%29%29+
- определим объем тела, получаемого при вращении этой кривой вокруг оси Ох - согласно приведенной выше формулы для объема
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+Pi*%283%2Bcos%28t%29%29%5E2*%28cos%28t%29%29dt+from+t%3D0+to+2Pi что соответствует формуле для объема тора $V=2\pi^2Rr$ при $R=3, r=1$.

Вам надо сделать тоже самое для Вашей кривой. Пробуйте.

Тор выглядит вот так
http://www.mathcurve.com/surfaces/tore/tore.shtml

Примеры разных параметрических кривых здесь
http://www.mathcurve.com/courbes2d/courbes2d.shtml
http://www.wolframalpha.com/input/i=parametric+plane+curves&lk=1&a=ClashPrefs_*PlaneCurveClass.Parametric-

[integral2009]

Спасибо за подробное объяснение) Для тора легче понять -- какие пределы интегрирования

$$V_{\sum} = \pi \int\limits_{0}^2 (4t-t^3)^2 \,d(2t-t^2)= \pi \int\limits_{0}^2 (4t-t^3)^2\cdot(2-2t)dt= 2\pi \int\limits_{0}^2 (4t-t^3)^2\cdot(1-t)dt=$$

$$=2\pi \int\limits_{0}^2 (16t^2-8t^4+t^6)\cdot(1-t)dt= 2\pi \int\limits_{0}^2 (16t^2-8t^4+t^6-16t^3+8t^5-t^7)dt=$$

$$=\dfrac{16\cdot2^2}{3}-\dfrac{8\cdot 2^5}{5}+\dfrac{1\cdot 2^7}{7}+\dfrac{8\cdot 2^5}{5}-\dfrac{1\cdot 2^8}{8}=\dfrac{160}{21}$$

[integral2009]

По-моему ответ несколько некрасив)