Симпатичный интеграл

[Xenia1996]

Доказать, что $\int\limits_{1}^{3} t^t dt>7$
(Московская городская студенческая олимпиада, 2003 г.)

(Попытка)

Попыталась решить методами восьмого класса:

Подынтегральная функция строго возрастает на заданном промежутке (а это доказывать надо?).

Поэтому, $\int\limits_{\frac{5}{2}}^{3} t^t dt>\int\limits_{\frac{5}{2}}^{3} \frac{5}{2}^\frac{5}{2} dt=\frac{5}{2}^\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{2}=(\frac{5}{2})^2\cdot \sqrt{\frac{5}{2}}\cdot \frac{1}{2}>6\frac{1}{4}\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}>6\frac{1}{4}\cdot 1\frac{4}{10}\cdot \frac{1}{2}=\frac{25}{4}\cdot \frac{14}{10}\cdot \frac{1}{2}=\frac{350}{40}\cdot \frac{1}{2}>4$

Аналогично промежутку от 2.5 до 3 рассчитываются промежутки от 2 до 2.5 (будет больше 2) и от 1 до 2 (будет больше 1). Итого, больше 7.

Но такую мазню на студенческой олимпиаде не засчитают

[Gortaur]

По-моему, обычное решение здесь все равно будет сводиться к разбиению интеграла и Вы все сделали правильно. Решение корректно, так что для студ. олимпиады очень даже подойдет.

[ИСН]

Трудолюбивая Ксения выкладывает столбики из кирпичиков.
Ленивый студент считает производную и говорит: "так, эта штука выпукла вниз, можно её на интервале (1,2) оценить снизу как 1+x, а на (2,3) - как 4+4x, должно хватить".

[Gortaur]

Какой курс? Выпуклость могли и не проходить.

-- Вс май 22, 2011 01:15:07 --

Хотя интегралы обычно все равно проходят позже, согласен.

[Sasha2]

А так не поможет?
$t^t = \frac{t^t(lnt+1)}{lnt+1} \ge \frac{t^t(lnt+1)}{ln3+1}$ (ну, конечно для всех $t$ от 1 до 3)

AKM:

Sasha2, а так не лучше?
$t^t = \frac{t^t(\ln t+1)}{\ln t+1} \ge \frac{t^t(\ln t+1)}{\ln3+1}$
Уж при Вашем-то стаже...

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #448577 писал(а):

Трудолюбивая Ксения выкладывает столбики из кирпичиков.
Ленивый студент считает производную и говорит: "так, эта штука выпукла вниз, можно её на интервале (1,2) оценить снизу как 1+x, а на (2,3) - как 4+4x, должно хватить".

(Оффтоп)

Ксюша не тупая трудолюбивая. Просто решение студенческой задачи школьными методами ценится выше.
В тяжёлой атлетике, например, если два спортсмена взяли один и тот же вес, то победа присуждается тому, кто сам весит меньше.

-- Вс май 22, 2011 11:34:25 --

Gortaur в сообщении #448578 писал(а):

Какой курс? Выпуклость могли и не проходить.

Первый.
Но учебные программы везде разные. Например, на ленинградском мехмате Мехмете матмехе топологию уже на первом курсе дают.

[myra_panama]

Может это поможет:
Сделаем замену $y=3-t$ . Тогда
$\int\limits_{1}^{3}t^{t}dt=\int\limits_{0}^{2}(3-y)^{3-y}dy$
$(3-y)^{3-y}=exp((3-y)\ln{(3-y)})=exp[(3-y)(\ln{3}-\frac{y}{3}+O(y^2))]=exp(3\ln{3}-y(1+\ln{3}+O(y^2)))={3}^{3}\cdot e^{-(1+\ln{3})y+O(y^2)}$.
Далее подставляя эти выражении в

(Оффтоп)

симпатичному

интеграл(у) , можно как то получить требуемое доказательство.

[Sasha2]

Уважаемый AKM, ну никак не могу понять, а в чем неправильность у меня.
Ведь теперь интеграл стал берущимся, а задача свелась по сути дела к такой:
Показать, что $\frac{26}{1+ln3} \ge 7$, что эквивалентно $\frac{19}{7} \ge ln3$. (Тут левая часть явно больше 2, а правая явно меньше).
Так что между прочим в исходной задаче мы можем в правой части вместо 7 смело даже и 8 написать, все равно неравенство останется верным.
Ну не могу понять, где же тогда у меня ошибка.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #448824 писал(а):

Уважаемый AKM, ну никак не могу понять, а в чем неправильность у меня.

AKM возмутился не неправильностью, а неграмотностью записи логарифма.

[AKM]

Sasha2, найдите 10 различий:
\Large $ln x+exp x\quad\text{и}\quad \ln x+\exp x$
("exp" персонально для myra_panama)

[Sasha2]

Спасибо все понял, учту и исправлюсь.