2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Симпатичный интеграл
Сообщение21.05.2011, 23:52 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Доказать, что $\int\limits_{1}^{3} t^t dt>7$
(Московская городская студенческая олимпиада, 2003 г.)

(Попытка)

Попыталась решить методами восьмого класса:

Подынтегральная функция строго возрастает на заданном промежутке (а это доказывать надо?).

Поэтому, $\int\limits_{\frac{5}{2}}^{3} t^t dt>\int\limits_{\frac{5}{2}}^{3} \frac{5}{2}^\frac{5}{2} dt=\frac{5}{2}^\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{2}=(\frac{5}{2})^2\cdot \sqrt{\frac{5}{2}}\cdot \frac{1}{2}>6\frac{1}{4}\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}>6\frac{1}{4}\cdot 1\frac{4}{10}\cdot \frac{1}{2}=\frac{25}{4}\cdot \frac{14}{10}\cdot \frac{1}{2}=\frac{350}{40}\cdot \frac{1}{2}>4$

Аналогично промежутку от 2.5 до 3 рассчитываются промежутки от 2 до 2.5 (будет больше 2) и от 1 до 2 (будет больше 1). Итого, больше 7.


Но такую мазню на студенческой олимпиаде не засчитают :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичный интеграл
Сообщение22.05.2011, 00:06 


26/12/08
1813
Лейден
По-моему, обычное решение здесь все равно будет сводиться к разбиению интеграла и Вы все сделали правильно. Решение корректно, так что для студ. олимпиады очень даже подойдет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичный интеграл
Сообщение22.05.2011, 00:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Трудолюбивая Ксения выкладывает столбики из кирпичиков.
Ленивый студент считает производную и говорит: "так, эта штука выпукла вниз, можно её на интервале (1,2) оценить снизу как 1+x, а на (2,3) - как 4+4x, должно хватить".

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичный интеграл
Сообщение22.05.2011, 00:14 


26/12/08
1813
Лейден
Какой курс? Выпуклость могли и не проходить.

-- Вс май 22, 2011 01:15:07 --

Хотя интегралы обычно все равно проходят позже, согласен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичный интеграл
Сообщение22.05.2011, 00:17 


21/06/06
1721
А так не поможет?
$t^t = \frac{t^t(lnt+1)}{lnt+1} \ge \frac{t^t(lnt+1)}{ln3+1}$ (ну, конечно для всех $t$ от 1 до 3)

 i  AKM:
Sasha2, а так не лучше?
$t^t = \frac{t^t(\ln t+1)}{\ln t+1} \ge \frac{t^t(\ln t+1)}{\ln3+1}$
Уж при Вашем-то стаже...

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичный интеграл
Сообщение22.05.2011, 11:29 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
ИСН в сообщении #448577 писал(а):
Трудолюбивая Ксения выкладывает столбики из кирпичиков.
Ленивый студент считает производную и говорит: "так, эта штука выпукла вниз, можно её на интервале (1,2) оценить снизу как 1+x, а на (2,3) - как 4+4x, должно хватить".

(Оффтоп)

Ксюша не тупая трудолюбивая. Просто решение студенческой задачи школьными методами ценится выше.
В тяжёлой атлетике, например, если два спортсмена взяли один и тот же вес, то победа присуждается тому, кто сам весит меньше.


-- Вс май 22, 2011 11:34:25 --

Gortaur в сообщении #448578 писал(а):
Какой курс? Выпуклость могли и не проходить.

Первый.
Но учебные программы везде разные. Например, на ленинградском мехмате Мехмете матмехе топологию уже на первом курсе дают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичный интеграл
Сообщение22.05.2011, 12:07 


19/01/11
718
Может это поможет:
Сделаем замену $y=3-t$ . Тогда
$\int\limits_{1}^{3}t^{t}dt=\int\limits_{0}^{2}(3-y)^{3-y}dy$
$(3-y)^{3-y}=exp((3-y)\ln{(3-y)})=exp[(3-y)(\ln{3}-\frac{y}{3}+O(y^2))]=exp(3\ln{3}-y(1+\ln{3}+O(y^2)))={3}^{3}\cdot e^{-(1+\ln{3})y+O(y^2)}$.
Далее подставляя эти выражении в

(Оффтоп)

симпатичному
интеграл(у) , можно как то получить требуемое доказательство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичный интеграл
Сообщение22.05.2011, 15:56 


21/06/06
1721
Уважаемый AKM, ну никак не могу понять, а в чем неправильность у меня.
Ведь теперь интеграл стал берущимся, а задача свелась по сути дела к такой:
Показать, что $\frac{26}{1+ln3} \ge 7$, что эквивалентно $\frac{19}{7} \ge ln3$. (Тут левая часть явно больше 2, а правая явно меньше).
Так что между прочим в исходной задаче мы можем в правой части вместо 7 смело даже и 8 написать, все равно неравенство останется верным.
Ну не могу понять, где же тогда у меня ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичный интеграл
Сообщение22.05.2011, 15:59 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Sasha2 в сообщении #448824 писал(а):
Уважаемый AKM, ну никак не могу понять, а в чем неправильность у меня.

AKM возмутился не неправильностью, а неграмотностью записи логарифма.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичный интеграл
Сообщение22.05.2011, 16:35 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
Sasha2, найдите 10 различий:
\Large $ln x+exp x\quad\text{и}\quad \ln x+\exp x$
("exp" персонально для myra_panama)

 Профиль  
                  
 
 Re: Симпатичный интеграл
Сообщение22.05.2011, 16:48 


21/06/06
1721
Спасибо все понял, учту и исправлюсь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group