Свойство п-ва $L^2$

[sup]

Ну тогда пойдем сложным путем. Определим $E_n=\{x \in R : |f(x)| < n\}$. И определим $f_n(x)=f(x)$ на $E_n$ и 0 во всех остальных $x$. Теперь то теорема Банаха-Штейнгауза применима?

[Полосин]

Сформулируем задачу так: пусть $f>0$, $\int\limits_0^{+\infty}f\,dx=\infty$, тогда нужно доказать, что существует $g>0$ такая, что $\int\limits_0^{+\infty}g\,dx<\infty$, $\int\limits_0^{+\infty}\sqrt{fg}\,dx=\infty$. Сделав замену переменной $t=F(x)=1+\int\limits_0^xf(s)\,ds$ и обозначив $h(t)=g(F^{-1}(t))/f(F^{-1}(t))$, придем к условиям $\int\limits_1^{+\infty}h\,dt<\infty$, $\int\limits_1^{+\infty}\sqrt{h}\,dt=\infty$; достаточно положить $h(t)=t^{-2}$.

[Padawan]

sup в сообщении #447941 писал(а):

Ну тогда пойдем сложным путем. Определим $E_n=\{x \in R : |f(x)| < n\}$. И определим $f_n(x)=f(x)$ на $E_n$ и 0 во всех остальных $x$. Теперь то теорема Банаха-Штейнгауза применима?

Лучше так: $f_n(x)=f(x)$ при $|x|<n$ и $|f(x)|<n$, и $f_n(x)=0$ иначе. Тогда $f_n\in L^2(\mathbb R)$ и $\int_{\mathbb R} f_n(x) g(x) dx\to \int_{\mathbb R} f(x) g(x) dx$ для любого $g\in L^2(\mathbb R)$ (так как $fg\in L^1(\mathbb R)$). Отсюда по теореме Банаха-Штейнгауза функционал $g\to \int_{\mathbb R} f(x) g(x) dx$ ограничен в $L^2$.

[sup]

(Оффтоп)

Ну вот. Все таки теорема Банаха-Штейнгауза
Как говорится: "хоть тушкой, хоть чучелом ..." $\copyright$