2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Свойство п-ва $L^2$
Сообщение20.05.2011, 14:54 
Заслуженный участник


22/11/10
1184
Ну тогда пойдем сложным путем. Определим $E_n=\{x \in R : |f(x)| < n\}$. И определим $f_n(x)=f(x)$ на $E_n$ и 0 во всех остальных $x$. Теперь то теорема Банаха-Штейнгауза применима?

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойство п-ва $L^2$
Сообщение20.05.2011, 15:19 
Заслуженный участник


26/12/08
678
Сформулируем задачу так: пусть $f>0$, $\int\limits_0^{+\infty}f\,dx=\infty$, тогда нужно доказать, что существует $g>0$ такая, что $\int\limits_0^{+\infty}g\,dx<\infty$, $\int\limits_0^{+\infty}\sqrt{fg}\,dx=\infty$. Сделав замену переменной $t=F(x)=1+\int\limits_0^xf(s)\,ds$ и обозначив $h(t)=g(F^{-1}(t))/f(F^{-1}(t))$, придем к условиям $\int\limits_1^{+\infty}h\,dt<\infty$, $\int\limits_1^{+\infty}\sqrt{h}\,dt=\infty$; достаточно положить $h(t)=t^{-2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойство п-ва $L^2$
Сообщение20.05.2011, 15:54 
Заслуженный участник


13/12/05
4620
sup в сообщении #447941 писал(а):
Ну тогда пойдем сложным путем. Определим $E_n=\{x \in R : |f(x)| < n\}$. И определим $f_n(x)=f(x)$ на $E_n$ и 0 во всех остальных $x$. Теперь то теорема Банаха-Штейнгауза применима?

Лучше так: $f_n(x)=f(x)$ при $|x|<n$ и $|f(x)|<n$, и $f_n(x)=0$ иначе. Тогда $f_n\in L^2(\mathbb R)$ и $\int_{\mathbb R} f_n(x) g(x) dx\to \int_{\mathbb R} f(x) g(x) dx$ для любого $g\in L^2(\mathbb R)$ (так как $fg\in L^1(\mathbb R)$). Отсюда по теореме Банаха-Штейнгауза функционал $g\to \int_{\mathbb R} f(x) g(x) dx$ ограничен в $L^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойство п-ва $L^2$
Сообщение20.05.2011, 16:19 
Заслуженный участник


22/11/10
1184

(Оффтоп)

Ну вот. Все таки теорема Банаха-Штейнгауза :D
Как говорится: "хоть тушкой, хоть чучелом ..." $\copyright$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group