Свойство п-ва $L^2$

[volodja]

Пусть измеримая функция $f\colon\mathbf R\to\mathbf R$ такова, что $fg\in L^1(\mathbf R)$ для любой $g\in L^2(\mathbf R)$. Докажите, что $f\in L^2(\mathbf R)$.

[AD]

Так, если бы вместо $\mathbb{R}$ было $[0,1]$, то мы бы знали, что делать. А так ... Может быть, взять что-то похожее? (:
А вообще хорошая задачка. Чё-то я даже задумался.

[volodja]

А если $\mathbf R$ заменить на $[0,1]$, то какие предложения?

[AD]

Не-не, не обращайте внимания, я окончательно туплю

[Oleg Zubelevich]

затер чепуху

[AD]

Хорошо, пусть у нас $\int f^2\,d\mu=\infty$. Тогда (как бы представляем $g$ в виде $f\cdot h$) нужно всего лишь найти такую $h$, чтобы $\int h^2f^2\,d\mu<\infty$, а $\int hf^2\,d\mu=\infty$. Ничего не изменилось, но выглядит проще

[sup]

Oleg Zubelevich в сообщении #447889 писал(а):

интерполяция

$$\|f\chi^2_{[-n,n]}\|_{L^2}\le \|f\chi_{[-n,n]}\|^{1/2}_{L^1}\|\chi_{[-n,n]}\|^{1/2}_{L^\infty}$$

следовательно $f\in L^2_{loc}$

Что ж так сложно то (да и непонятно). А теоремы Рисса не хватит (ну там ... вместе с Банахом и Штейнгаузом)?

[AD]

Ну чтобы шарахнуть теоремой Рисса, нужно доказать, что функционал ограничен, но мы и так знаем, что его норма и есть $\|f\|_{L^2}$. А что Банах и Штейнгауз?

[sup]

Ничего мы не знаем. Нам это как раз и надо доказать.
С другой стороны. По сути у нас имеется линейный функционал над $L_2(R)$. По теореме Банаха-Штейнгауза он ограничен
$|\int fg dx| \leqslant C \|g\|_{L_2(R)}$
А вот уже потом теорема Рисса. Но можно и без неё.

[AD]

Ничего не понимаю К какому семейству функционалов Вы применяете теорему Банаха-Штейнгауза?

[sup]

Да к одному единственному Положим
$\varphi (g)= \int fgdx$
Этот функционал ограничен во всех точках $g \in L_2(R)$ значит его норма ограничена.

[AD]

Вы сейчас доказали, что все линейные функционалы ограничены. Боюсь, что это неправда.

Чтобы применять теорему Банаха-Штейнгауза, нужно заранее знать ограниченность всех упоминаемых функционалов; про одинокие функционалы она вообще ничего не утверждает.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #447924 писал(а):

Да к одному единственному Положим
$\varphi (g)= \int fgdx$
Этот функционал ограничен во всех точках $g \in L_2(R)$ значит его норма ограничена.

выходит неограниченных функционалов вообще нет

[sup]

Какую-то химеру словил ...

[AD]

(Оффтоп)

sup в сообщении #447930 писал(а):

Какую-то химеру словил ...

Заходите, третьим будете ...