Вы познали смысл интегрирования? Проверьте себя: Тест №1

[ewert]

creator777 в сообщении #447520 писал(а):

Только Вы "вычислили" меня рановато...

Опрометчивое заявление. Всё уж давно вычислено. А если б Лукомор подключился чуток ранее -- было б вычислено (ввиду его богатого опыта вот как раз в таком роде деятельности), конечно, ещё раньше.

[gris]

Интегрирование производных! Ну конечно! Я сразу вспомнил.
По поводу второго и третьего пунктов мне повторяться неохота, но формулы примерно в таком же стиле. Отличаются лишь порядком сомножителей и вынесенными за интеграл константами.
А вот насчёт числа переменных задумался. serval какой-то подвох приготовил. А то константа не зависит от ни одной переменной, но с успехом интегрируется хоть по двенадцати.
Вот число интегралов должно соответствовать числу дифференциалов. Хотя тоже можно написать один на всю область интегрирования. В общем, всё мне стало ясно теперь.

[Лукомор]

ewert в сообщении #447546 писал(а):

А если б Лукомор подключился чуток ранее

(Оффтоп)

"А чего сразу Лукомор?!"
(с) Лукомор

[Munin]

serval в сообщении #447531 писал(а):

Как проинтегрировать функцию по тому, от чего она не зависит?

Никак, но фактически такого не бывает. Для каждой функции $f\colon X\to Y$ и любой переменной $z,$ от которой она не зависит, естественным образом определяется её константное обобщение $f_Z\colon X\times Z\to Y,$ действующее как $(x,z)\mapsto f(x).$ Его, очевидно, проинтегрировать по переменной $z$ уже можно. Фактически принятая в математике и физике формульная нотация подразумевает, что каждое вычислительное выражение задаёт не одну функцию (от всех явно указанных переменных), а множество всех возможных константных обобщений на все возможные наборы не указанных переменных (начиная с пустого набора, разумеется).

[Виктор Викторов]

creator777 в сообщении #447520 писал(а):

А что Вы скажете по этому поводу:

$\displaystyle\int f'(x)dx=f(x);\,\,\, \int f'(x) \partial x=f(x)+C$

А что, если помолчать и открыть учебник? Да, попросить разъяснение по $\partial x$ под знаком интеграла?

[ewert]

(Оффтоп)

Лукомор в сообщении #447561 писал(а):

"А чего сразу Лукомор?!"

это в данном случае был типа комплимент. Пародия-то у Вас и впрямь вполне адекватная вышла.

[creator777]

Лукомор в сообщении #447469 писал(а):

Можете меня добавить в коллекцию:
$V(r)=\pi \int\limits_0^R R^2 dr$

Ваш самобытный мыслительный аппарат импонировал мне еще со времен Вашей активной деятельности в "Мембране". Давайте упростим Вашу формулу:

$$V(r)=\pi \int\limits_0^R R^2 dr=\pi R^3$$

Итак: $V(r)=\pi R^3$. Называется: ПРИПЛЫЛИ!

serval в сообщении #447531 писал(а):

Цитата:

Переменных две, а аргумент - один!!!

Какой-то бред.
Пусть $m$ - число аргументов подинтегральной функции, а $n$ - число переменных интегрирования.
Как может быть $m>n$ я понимаю, а вот как может быть $n>m$ - совсем не понимаю. Как проинтегрировать функцию по тому, от чего она не зависит?

М-дя-я...

Давайте на нашем примере:

1. Объем цилиндра в общем виде - функция двух аргументов: $V_c(r,h)=\pi r^2 \cdot h$. Обе переменные: $r$ и $h$ не зависят друг от друга и являются аргументами функции $V_c$.

2. Объем цилиндра с высотой, равной радиусу основания - функция одного аргумента: $V_c(r)=\pi r^3$, т.к. одна переменная является функцией другой: $h=r$.

Что Вам не нравится?!

Итак, имеем следующие варианты ответов на первый пункт (1. Пусть объем цилиндра с высотой, равной радиусу основания $(V_c)$ - есть функция радиуса $r$: $V_c=f(r)=\pi r^3$. Выразить $V_c$ в виде интеграла.):

1. $V_c=\int_0^1\pi r^3\,dx$ (ewert);

2. $\displaystyle V_c=\int\limits_{-r\sqrt{2}}^{r\sqrt{2}}dx\int\limits_{\lvert x\rvert-r\sqrt{2}}^{-\lvert x\rvert+r\sqrt{2}}dy\int\limits_{-\sqrt{r^2-(y-x)^2/2}}^{+\sqrt{r^2-(y-x)^2/2}}dz$ (munin);

3. $\displaystyle V_c= \int\limits_{0}^{r} \pi r^2dh$ (creator777);

4. $$V(R)=\int\limits_0^R 3\pi r^2 dr$ (gris);

5. $\displaystyle V(r)=\pi \int\limits_0^R R^2 dr$ (Lukomor).


Давайте теперь перейдем ко второму пункту:

2. Пусть объем трех конусов с высотой, равной радиусу основания $(V_3k)$ - есть функция радиуса $r$: $V_3k=f(r)=3\cdot \frac{1}{3} \pi r^3=\pi r^3$.
Выразить $V_3k$ в виде интеграла.
Какие есть предложения?

[Munin]

Сначала ваши оценки ответов на первый пункт. Второй намного сложнее.

[gris]

Я прошу включить и мой второй вариант

4,5. $$V(r)=\int\limits_0^r 3\pi r^2 dr$ (gris);

И ещё: по второй задаче надо бы уточнить, что все конусы равные. Это видно только по ответу. Я думаю, что то, что их три, и что в формуле объёма присутствует одна треть — это не просто совпадение.

[creator777]

Munin в сообщении #447626 писал(а):

Сначала ваши оценки ответов на первый пункт. Второй намного сложнее.

Так тут весь смысл в том, чтобы человек смог одну и ту же функцию представить в различных интегральных формулах в соответствии с некоторой спецификой, заложенной в условии. Полный эффект будет тогда, когда "претендент" обосновано представит три различных интеграла(!)

Например, имеем две функции: площадь $S_k=x^2$ и площадь $S_c=\pi r^2$. Вопрос: как тремя (к примеру) различными способами объединить эти две площади в одну $S_{sum}$?

Ответ:

1. Посредством арифметического сложения: $S_{sum}=S_k+S_c=x^2+\pi r^2$.

2. Путем интегрирования площади $S_c$ в площадь $S_k$:

$\displaystyle S_{sum}=\int\limits_{0}^{\sqrt{x^2+\pi r^2}}2xdx$.

3. Путем интегрирования площади $S_k$ в площадь $S_c$:

$\displaystyle S_{sum}=\int\limits_{0}^{\sqrt{\frac{x^2}{\pi}+ r^2}}2\pi rdr$.


Это так, для примера...

-- Чт май 19, 2011 20:18:04 --

gris в сообщении #447631 писал(а):

Я прошу включить и мой второй вариант

4,5. $$V(r)=\int\limits_0^r 3\pi r^2 dr$ (gris);

И ещё: по второй задаче надо бы уточнить, что все конусы равные. Это видно только по ответу. Я думаю, что то, что их три, и что в формуле объёма присутствует одна треть — это не просто совпадение.

В смысле: это видно по условию (!), т.к. ответа пока нету...Вы, как всегда правы, это не совпадение (!). Я не понял смысла вот этого: 4,5 (?)

[Munin]

Что такое "интегрирование площади в площадь"? И заодно, что такое "объединить две площади в одну"?

[creator777]

Munin в сообщении #447644 писал(а):

Что такое "интегрирование площади в площадь"? И заодно, что такое "объединить две площади в одну"?

А что такое вообще интегрирование? Во-первых, это сумма. Но сумма специфическая. Очень грубо говоря, интегрирование - это изменение количества при сохранении формы. Повторяю: это очень грубо, но верно по сути. И арифметическое сложение и произведение - это две предельные формы интегрирования.

"Объединить две площади в одну" - как частный случай: получить из двух слагаемых сумму.

-- Чт май 19, 2011 23:22:18 --

У меня есть такой вопросик...
Есть кое-какие наработки в черновом виде. Хорошо бы попасть в какой-нибудь коллектив сильных математиков под руководством какого-нибудь мэтра и попробовать эти наработки превратить в научные разработки. Может, кто подскажет, куда и к кому обратиться... e-mail: [e-mail] или [e-mail]

А, может, кто-нибудь подскажет какой-нибудь сайт или форум, где можно без угрозы бана поделиться своими соображениями и увидеть здоровую критику, а не болезненное умничание. Хоть и за кордоном. Буду премного благодарен.

[Munin]

creator777 в сообщении #447678 писал(а):

А что такое вообще интегрирование? Во-первых, это сумма.

Это ваш личный взгляд. Вообще-то нестандартный. В математике считается, что интеграл связан с суммой, но это вещи разные. С таким "пониманием" не устраивают проверочных тестов.

creator777 в сообщении #447678 писал(а):

Очень грубо говоря, интегрирование - это изменение количества при сохранении формы.

Что такое "количество" и "форма" в данном контексте? Что такое "изменение", по какому параметру?

creator777 в сообщении #447678 писал(а):

"Объединить две площади в одну" - как частный случай: получить из двух слагаемых сумму.

А не как частный? Вы же зачем-то используете вместо слова "сложить" слово "объединить"?

creator777 в сообщении #447678 писал(а):

Хорошо бы попасть в какой-нибудь коллектив сильных математиков

:-) Для этого надо самому быть сильным математиком.

creator777 в сообщении #447678 писал(а):

и попробовать эти наработки превратить в научные разработки.

Превратить в научные разработки можно только то, что уже научные разработки.

gris в сообщении #447687 писал(а):

А диагноз ИСН не подтвердился?

А что за диагноз ИСН? Не вижу его в этой теме. Хотя "болезненное умничание" налицо, я и сам могу диагноз предположить...

[gris]

Давно было. В первом (?) пришествии уважаемого автора. Но это так, шутка, конечно

[creator777]

Munin я Вас почитал. И gris тоже. Иной реакции не ожидал. Знал на что шел. Насчет интеграла и суммы...Вы знаете от какой буквы образован значок интеграла? И первой буквой какого слова она является? И что это за произведение производной на дифференциал переменной интегрирования? А выражение $dC$, где С=const имеет смысл, если у константы нет даже приращения, не то, что дифференциала? Вы, Munin, сильный математик? Чем докажете? Давайте ответом на второй и третий пункты топик-стартера. Типа: делами, а не словами. А там мы с Вами и посмотрим на то, кто сильный, а кто только прикидывается...

-- Пт май 20, 2011 02:01:11 --

Кстати, поторопился...

Надо было так:

$$\displaystyle S_{sum}=\int\limits_{0}^{\sqrt{x^2+\pi r^2}}2tdt$$

.

$$\displaystyle S_{sum}=\int\limits_{0}^{\sqrt{\frac{x^2}{\pi}+ r^2}}2\pi tdt$$

.

А то опять начнете...