Дейстие точечной частицы со спином в классике.

[ИгорЪ]

VladTK
здесь
http://gen.lib.rus.ec/get?md5=7c4e909b5 ... de80968698
есть хорошая статья Гитмана, про действие Березина Маринова, да и вся книга очень очень интересна. 1Мб

[myhand]

obar в сообщении #444575 писал(а):

Из того, что в механике частицы тензор плотности углового момента выражается через ТЭИ (симметричный) не исключает возможность существования у нее спина.

В общем да, тут Вы правы - я собственно эти вещи и не смешивал ранее (посмотрите на историю моего замечания и где оно было сказано).

Как я понимаю, автор хочет обобщить уравнение Эйлера на релятивистский случай (+ включить поступательное движение). Уже в нерелятивистском случае - это случай вырожденного лагранжиана. Спин - конечно, никакая не обобщенная координата (скорее, обобщенный импульс в гамильтоновом формализме со связями).

[VladTK]

ИгорЪ в сообщении #444582 писал(а):

VladTK
здесь http://gen.lib.rus.ec/get?md5=7c4e909b5 ... de80968698 есть хорошая статья Гитмана, про действие Березина Маринова, да и вся книга очень очень интересна. 1Мб

Угу. Еще раз спасибо. Когда то читал из Березина "Метод вторичного квантования". Но так давно, что в памяти только антикоммутатор грассмановых переменных и остался :) Не знаю поможет ли метод Березина-Маринова мне в моей работе, но кругозор расширит без сомнений.

myhand в сообщении #444583 писал(а):

...Как я понимаю, автор хочет обобщить уравнение Эйлера на релятивистский случай (+ включить поступательное движение). Уже в нерелятивистском случае - это случай вырожденного лагранжиана. Спин - конечно, никакая не обобщенная координата (скорее, обобщенный импульс в гамильтоновом формализме со связями).

Это, конечно, сразу приходит в голову. Правда вместе с вопросом: а что играет роль сопряженной координаты для спина? У Вас есть варианты?

Кроме того, каковой должна тогда быть размерность фазового пространства частицы? Березин-Маринов, например, обходятся 9-мерным фазовым пространством...

[espe]

obar в сообщении #444575 писал(а):

Из того, что в механике частицы тензор плотности углового момента выражается через ТЭИ (симметричный) не исключает возможность существования у нее спина.

И не только в механике. Я бы добавил, что это вообще на на наличие спина не влияет.

obar в сообщении #444575 писал(а):

Проблемы с определением спина есть в теории поля (классического)

Я (думаю что не только я) использую такое определение разбиения полного момента импульса на орбитальную и спиновую части. Пусть имеется какое-то поле $\Phi^A$. Оно преобразуется как-то при преобразованиях из группы Пуанкаре и это преобразование можно разбить на две части (пишу схематично)

$$\delta\Phi^A = \omega_{[\mu\nu]}(x^\mu\partial^\nu-x^\nu\partial^\mu)\Phi^A+S$$

где $S$ часть преобразования связана со спином поля. Теперь можно разделить соответственно и полный момент импульса. Та часть которая генерируется $S$ есть спиновый момент, остальная -- орбитальный. При таком определении спин никуда не исчезает. В классической теории поля спин проявляется в количестве степеней свободы у поля в каждой точке. Например у массивного векторного (спин 1) 3 степени свободы, у безмассового (спиральность 1) -- ЭМ поле -- две (поляризации).

(Оффтоп)

У myhand (ИМХО) другое определение спина.

Munin в сообщении #444429 писал(а):

Совпадают только их интегралы.

В (32,8) интегралы есть.

[myhand]

VladTK в сообщении #444825 писал(а):

Это, конечно, сразу приходит в голову. Правда вместе с вопросом: а что играет роль сопряженной координаты для спина? У Вас есть варианты?

Ну а что играет роль обобщенных координат для вращающегося твердого тела? Спин в этом смысле - соотвествует обобщенному импульсу.

espe в сообщении #445075 писал(а):

где часть преобразования связана со спином поля

Ну да... Только вот проблема в том, что и первая часть и Ваша $S$ - определены с известным произволом (каким именно, я пояснял подробно по ссылке выше). Которым можно воспользоваться в классической теории поля, чтобы занулить тензор спина (вот эту $S$ Вашу)...

[espe]

myhand в сообщении #446532 писал(а):

Только вот проблема в том, что и первая часть и Ваша $S$ - определены с известным произволом

У меня произвола в определении спина (который как в учебниках) нет. Первая часть преобразования поля

(Оффтоп)

(при преобразованиях Лоренца, в предыдущем моём посте опечатка)

определена без какого бы то ни было произвола, жёстко. Соответственно однозначно определена и вторая часть (для фиксированного типа поля), которая $S$. Соответственно нет произвола в определении орбитального и спинового моментов. Естественно, что после этого с ними (выражениями для полного, углового и спинового моментов) можно делать тождественные преобразования, "мои" орбитальный и спиновый моменты при этом не меняются. Они уже определены. Произвол есть при Вашем (не явном) определении спина.

myhand в сообщении #446532 писал(а):

Которым можно воспользоваться в классической теории поля, чтобы занулить тензор спина

От того что после тождественных преобразований изменяется форма записи полного углового момента [записывается только через (симметризованный) ТЭИ], тот спин и орбитальный момент, который определил я, в принципе не изменяются. Они вообще не зависят от того как записан полный угловой момент. Зануляется только тот спин, который у Вас. Осознайте, что у Вас другое определение спина, если вообще оно у Вас есть.

[Wild Bill]

Просто приведу ссылки на несколько статей, которыми я когда-то пользовался:
1. Березин Ф.А., Голо В.Л. Суперсимметричная модель нескольких классических частиц со спином. Письма в ЖЭТФ, 1980, 32, №3, 82-84.
2. Cho J.-H. et al. Relations between Classical and Pseudo-classical Spinning Particle (hep-th/9304064).
3. Cho J.-H. et al. A Covariant Formulation of Classical Spinning Particle (hep-th/9402012).
4. Grassi P.A. et al. The covariant quantum superstring and superparticle from their classical actions. Phys. Lett. B, 2003, 553, 96-104.
5. Machiko Hatsuda et al. Classical AdS supersting mechanics. Nucl. Phys. B, 2001, 611, 77-92.
6. Gitman D.M. et al. Quantization of pseudoclassical model of spin one relativistic particle. (hep-th/9401132).
7. Yee K., Bander M. Equations of Motion for Spinning Particles in External Electromagnetic and Gravitational Fields. (hep-th/9302117).
8. Slomonson P. Supersymmetric actions for spinning particles. Phys. Rev. D., 1978, 18, N6, 1868-1880.
Быть может, что-то пригодится...

[myhand]

espe в сообщении #446756 писал(а):

Осознайте, что у Вас другое определение спина, если вообще оно у Вас есть.

Оно не "у меня" - оно в учебниках. В том же цитированном мной выше Боголюбове-Ширкове или Ахиезере.

Вы можете указать на принципиальные отличия Вашего определения? Как оно связано с теоремой Нетер? И если связано - то почему не эквивалентно стандартному?

[espe]

myhand в сообщении #446929 писал(а):

Вы можете указать на принципиальные отличия Вашего определения?

Возьмём например такие определения

Munin в сообщении #427757 писал(а):

Конкретно, например, по Косякову:
$M_{\lambda\mu\nu}=\theta_{\lambda\mu}x_\nu-\theta_{\lambda\nu}x_\mu-\Sigma_{\lambda\mu\nu}\quad(K2007\,5.98)$
$\Sigma_{\lambda\mu\nu}=\pi^a_\lambda(\Gamma_{\mu\nu})^b{}_a\phi_b\quad(K2007\,5.99)$
$M_{\mu\nu}=\int_\Sigma d\sigma^\lambda M_{\lambda\mu\nu}\quad(K2007\,5.100)$
$M_{\mu\nu}=L_{\mu\nu}+S_{\mu\nu}\quad(K2007\,5.101)$
$L_{\mu\nu}=\int_\Sigma d\sigma^\lambda(\theta_{\lambda\mu}x_\nu-\theta_{\lambda\nu}x_\mu)\quad(K2007\,5.102)$
$S_{\mu\nu}=-\int_\Sigma d\sigma^\lambda\Sigma_{\lambda\mu\nu}\quad(K2007\,5.103)$
где $\theta_{\mu\nu}$ - канонический ТЭИ, $\phi_a$ и $\pi_a^\mu$ - динамические переменные и канонические импульсы поля, а $(\Gamma^{\mu\nu})^b{}_a$ - генераторы поворота, действующие на поле в точке по его представлению группы Лоренца. $L_{\mu\nu}$ называется орбитальным угловым моментом, $S_{\mu\nu}$ спиновым.

С моими они совпадают. А с Вашими? Если да, то объясните как Вы зануляете тензор спина $S_{\mu\nu}=-\int_\Sigma d\sigma^\lambda\Sigma_{\lambda\mu\nu}=...=0$? То что было написано ранее, к тензору спина отношения не имеет, а имеет лишь к полному угловому моменту $M_{\mu\nu}$. На всякий случай ещё раз специально замечу, что в определении орбитального момента импульса стоит именно канонический ТЭИ, а не, например, симметричный.

[myhand]

espe в сообщении #447890 писал(а):

С моими они совпадают. А с Вашими?

Совпадают.

espe в сообщении #447890 писал(а):

Если да, то объясните как Вы зануляете тензор спина

Объяснил. Или сразу вот. Рассуждения фактически совпадают с Ахиезер А.И. Пелетминский С.В. "Теория фундаментальных взаимодействий" (1993), стр.15 (только я использовал обозначения Боголюбова-Ширкова).

espe в сообщении #447890 писал(а):

в определении орбитального момента импульса стоит именно канонический ТЭИ, а не, например, симметричный

Без разницы. Вы забываете, что помимо произвола в каноническом ТЭИ - есть и аналогичный произвол в ТМИ. Чтобы занулить тензор спина - мы эксплуатируем оба этих произвола.

PS: Кстати, книжка Косякова "Introduction to the Classical Theory of Particles and Fields" - весьма по теме топикстартера, правда немножко другие разделы чем Вы только что процитировали. Что-то я пропустил, где Вы ее рекоммендовали ;)

[espe]

myhand в сообщении #447965 писал(а):

Вы забываете, что помимо произвола в каноническом ТЭИ - есть и аналогичный произвол в ТМИ.

Дело не в том как делаются преобразования $M_{\mu\nu}$. Дело в выводе о том что $S_{\mu\nu}=0$ который Вы потом делаете. Записали полный угловой момент через симметричный ТЭИ $M_{\mu\nu}=\int d^3\vec{x}(T_{0\mu}x_\nu-T_{0\nu}x_\mu)$. Теперь смотрим тензор спина (определение орбитального МИ осталось прежним, через канонический ТЭИ)

$$S_{\mu\nu}=M_{\mu\nu}-L_{\mu\nu} =\int d^3\vec{x}\left[(T_{0\mu}-\theta_{0\mu})x_\nu-(T_{0\nu}-\theta_{0\nu})x_\mu\right] =\int d^3\vec{x}\left[(\partial^\lambda f_{[\lambda0]\mu})x_\nu-(\partial^\lambda f_{[\lambda0]\nu})x_\mu\right] = $$

$$ =\int d^3\vec{x}\left[ f_{[\mu0]\nu}-f_{[\nu0]\mu}\right] \neq0 $$

см. например, формулу (1.2.8) в Ахиезере и Пелетминский (1986г). Обозначения надеюсь понятны. Вообще Ваш вывод о том, что тензор спина для любого поля равен нулю очень сильный и если бы это было на самом деле так, то это было бы написано черным по белому во всех учебниках. Но я почему-то не видел ни в одном учебнике чтобы было написано, что $S_{\mu\nu}=0$ для любого поля.

myhand в сообщении #447965 писал(а):

PS: Кстати, книжка Косякова "Introduction to the Classical Theory of Particles and Fields" - весьма по теме топикстартера, правда немножко другие разделы чем Вы только что процитировали. Что-то я пропустил, где Вы ее рекоммендовали ;)

Книг я вообще никаких не рекомендовал и эту книгу я даже не смотрел. Я просто процитировал Muninа, лень формулы набирать было. Надеюсь ТС эту книгу найдет.

[VladTK]

myhand в сообщении #446532 писал(а):

Ну а что играет роль обобщенных координат для вращающегося твердого тела? Спин в этом смысле - соотвествует обобщенному импульсу.

Вращающееся твердое тело имеет, как известно, 6 степеней свободы: 3 поступательных и 3 вращательных. Соответственно имеется 6 обобщенных импульсов. Спина среди них, насколько я знаю, нет. Хотя, разумеется, по своим свойствам спин и соотвествует обобщенному импульсу. Для материальной точки 3 вращательных степени свободы не доступны. Остаются 3 поступательных степени свободы и 3 компоненты спина. Вместе с 3 поступательными обобщенными импульсами это дает 9-мерное фазовое пространство.

Wild Bill в сообщении #446905 писал(а):

Просто приведу ссылки на несколько статей, которыми я когда-то пользовался:
1. Березин Ф.А., Голо В.Л. Суперсимметричная модель нескольких классических частиц со спином. Письма в ЖЭТФ, 1980, 32, №3, 82-84.
2. Cho J.-H. et al. Relations between Classical and Pseudo-classical Spinning Particle (hep-th/9304064).
3. Cho J.-H. et al. A Covariant Formulation of Classical Spinning Particle (hep-th/9402012).
4. Grassi P.A. et al. The covariant quantum superstring and superparticle from their classical actions. Phys. Lett. B, 2003, 553, 96-104.
5. Machiko Hatsuda et al. Classical AdS supersting mechanics. Nucl. Phys. B, 2001, 611, 77-92.
6. Gitman D.M. et al. Quantization of pseudoclassical model of spin one relativistic particle. (hep-th/9401132).
7. Yee K., Bander M. Equations of Motion for Spinning Particles in External Electromagnetic and Gravitational Fields. (hep-th/9302117).
8. Slomonson P. Supersymmetric actions for spinning particles. Phys. Rev. D., 1978, 18, N6, 1868-1880.
Быть может, что-то пригодится...

Благодарю. Должно пригодится :)

myhand в сообщении #447965 писал(а):

...Кстати, книжка Косякова "Introduction to the Classical Theory of Particles and Fields" - весьма по теме топикстартера, правда немножко другие разделы чем Вы только что процитировали. Что-то я пропустил, где Вы ее рекоммендовали ;)

Премного благодарен. Странно, что такой книги нет на русском языке...

[myhand]

espe в сообщении #449156 писал(а):

Дело не в том как делаются преобразования $M_{\mu\nu}$.

Действительно. Т.к. преобразования делаются для канонического ТЭИ ($T_l^k$) и канонического тензора момента, ТМИ ($M_{lm}^k$).

espe в сообщении #449156 писал(а):

Дело в выводе о том что $S_{\mu\nu}=0$ который Вы потом делаете. Записали полный угловой момент через симметричный ТЭИ $M_{\mu\nu}=\int d^3\vec{x}(T_{0\mu}x_\nu-T_{0\nu}x_\mu)$.

Нет, вранье - записали в результате полный тензор момента импульса (ТМИ) через симметричный ТЭИ:

$$M_{lm}^k=x_m T_l^k - x_l T_m^k\eqno{(1)}$$

Весь ТМИ сводится к орбитальной части. При этом "остаток", $\Sigma_{\lambda\mu\nu}$ в Ваших обозначениях - становится равным нулю. Равно как и интеграл от него, т.е. $S_{\mu\nu}$.

espe в сообщении #449156 писал(а):

Вообще Ваш вывод о том, что тензор спина для любого поля равен нулю очень сильный

В классике. А Вы где-нибудь видели тензор спина в учебниках по классической теории поля? Исключая, конечно, определение непосредственно для "несимметризованных", канонических ТЭИ и ТМИ (как у Боголюбова-Ширкова, например).

espe в сообщении #449156 писал(а):

Но я почему-то не видел ни в одном учебнике чтобы было написано

Странно, вообще говоря, упоминать о том, чего нет. Определение тензора спина в классике - рассматривают для канонических токов Нетер (ТЭИ & ТМИ). Там тензор спина - запросто есть и это определение обладает известной пользой для квантовой теории. А вот если обсуждают симметризацию - явно показывают (например, как Ахиезер), что эта часть ТМИ исчезает.

[espe]

myhand в сообщении #449181 писал(а):

Весь ТМИ сводится к орбитальной части.

Здесь враньё. Не сводится. См. определение орбитального ТМИ с которым Вы согласились ранее.

myhand в сообщении #449181 писал(а):

При этом "остаток", $\Sigma_{\lambda\mu\nu}$ в Ваших обозначениях - становится равным нулю. Равно как и интеграл от него, т.е. $S_{\mu\nu}$.

Не становится. Это я явно написал в предыдущем посте.

myhand в сообщении #449181 писал(а):

А Вы где-нибудь видели тензор спина в учебниках по классической теории поля? Исключая, конечно, определение непосредственно для "несимметризованных", канонических ТЭИ и ТМИ (как у Боголюбова-Ширкова, например).

А почему исключая? В этом собственно разногласие и состоит. Если Вы будете в определении орбитального ТМИ использовать симметризованный ТЭИ, а не канонический, то и получите, то что получили. Определение есть определение и не надо его менять.

[Munin]

myhand в сообщении #449181 писал(а):

А Вы где-нибудь видели тензор спина в учебниках по классической теории поля? Исключая, конечно, определение непосредственно для "несимметризованных", канонических ТЭИ и ТМИ

Мне это нравится: "а вы где-нибудь видели A, исключая, конечно, A?"