2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Расстояния между ладьями на шахматной доске
Сообщение17.05.2011, 16:24 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
На шахматной доске $n\times n$ стоят $n$ не бьющих друг друга ладей. При любом ли натуральном $n>2$ все попарные расстояния между ними не могут быть различными?

(Доказала только для $n\ge 8$)

Все расстояния равны $\sqrt{a^2+b^2}$, где $1\le a, b\le n-1$. Поскольку a и b - натуральные, всего расстояний будет $(n-1)^2$, но, учитывая, что a и b можно поменять местами (если они различны), получаем число расстояний, равное числу пар ладей, а именно $\frac{n(n-1)}{2}$. Однако $7^2+1^2=5^2+5^2=50$, следовательно для всех досок, больших $7\times 7$, число различных расстояний будет всегда меньше числа пар ладей, а значит, найдутся две пары с одинаковым расстоянием.

Пожалуйста, помогите разобраться с маленькими досками.
Заранее благодарна!

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояния между ладьями
Сообщение17.05.2011, 23:47 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Кстати, забыла добавить, что в журнале "Квант" (не помню, за какой год) эта задача обобщается до $m$ - мерной доски $\underset{\text{всего }m\ \mathrm {\text{раз}}}{\underbrace{n\times n\times ...\times n}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояния между ладьями
Сообщение18.05.2011, 09:25 


14/01/11
3066
Допустим, при некотором n>2 найдётся расположение ладей на доске, удовлетворяющее условию.
Поскольку число пар ладей соответствует числу всевозможных расстояний между клетками доски, не лежащими на одной вертикали или горизонтали, найдётся пара ладей, расстояние между которыми равно $\sqrt{2}(n-1)$. Очевидно, эти две ладьи могут располагаться только в противоположных углах доски и бьют все клетки, лежащие на границе. Таким образом, остальные ладьи не могут располагаться на границе доски и, к примеру, расстояние $\sqrt{(n-1)^2+(n-2)^2}$ не достигается.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group