Принципиальная разница в том, что

, а наоборот - нет
Для пространств

не имеет никакого значения, компактна

или нет -- лишь бы была измеримой. И изменение этой области на множество нулевой меры никак не изменит получающегося пространства (с точностью до естественного изоморфизма).
Теорему Рисса для

я не нашёл,
Посмотрите хотя бы Люстерника-Соболева или Колмогорова-Фомина -- хоть в одной из этих книжек, да есть (а насколько помню, в обеих).
Последовательность элементов

из ЛНП сходится слабо к элементу

из того же пространства тогда и только тогда, когда выполнены условия:
1) Для любого ф-ала

из тотального подмножества множества спряженного к нашему ЛНП, последовательность

сходится к

, как числовая последовательность.
2) все нормы

ограничены.
Вопрос:как проверить первый критерий на примере

Вот видите -- опять, строго говоря, ничего не понятно. Ну попробуем потелепатить.
Во-первых: в каком таком пространстве-то?... Ну предположим, что в

.
Во-вторых: что в точности за пример-то?... Ну предположим, что та разность стоит в

-ой позиции.
В-третьих: какой такой "первый критерий"?... У Вас только один
критерий. Ну предположим, что имелось в виду первое
требование.
В-четвёртых: если все предположения верны, то зафиксируйте некоторый линейный функционал и просто выпишите его значения на элементах этой последовательности -- и посмотрите, куда они стремятся.