А почему 0.9(9)=1?

[Три А,да]

Рассмотрите число 0.9(9) как сумму геометрическоу прогресии получится 1,и ещё это число в квадрате даёт само себя как и 1

[$]

ЕвгенийТ писал(а):

PAV писал(а):

Сначала поясните, в чем состоит Ваш вопрос. Почему одно и то же число может иметь два представления - уже объяснено.

Еще не объяснено, имхо, потому, что можно и иначе.

Почему одно и тоже число может иметь два представления мне понятно (а может и не понятно) но совсем не из приведенного алгоритма. Скорее это следует из того, что при попытке найти разницу чисел 0.9(9) и 1 мы натыкаемся на проблему того, что ничего не можем найти конструктивно -- и полагаем ее равной 0, классически. А алгоритмом (видоизмененным) можно добится однозначности, и следовательно невыполнения 0.9(9)=1

Вещественные числа строят по разному, но всегда по конкретному построению легко увидеть, что есть вещественные числа, неоднозначно представимые десятичными дробями.

Как строят вещественные числа- чаще всего это множество всех так называемых сечений во множестве рациональных чисел. Другие варианты- что нибудь про сходящиеся последовательности рациональных чисел. Тогда одно и то же число может оказатся пределом множества последовательностей, сходящихся к нему. Вот собственно и оказывается, что две последовательности {1,1,1,..} и {0.9,0.99,0.999,...} имеют один предел.

Все это сказано к тому, что пожалуй правильнее смотреть не "почему два числа равны?", а "почему у одного числа два десятичных представления".

Добавлено спустя 12 минут 48 секунд:

Иными словами, если другие участники дискуссии вам обьяснили "на языке пределов" (епсилондельта и прочее ) почему пределы последовательностей {1,1,1,..} и {0.9,0.99,0.999,...} равны, то они и обьяснили, почему у 1 два таких представления.

Вроде вопрос исчерпан. Ваше некоторое непонимание считаю связанным с тем обстоятельством, что вы не в курсе как строятся вещественные числа.

Вообще что то мне кажется, что любое рациональное число представимое конечной дробью имеет пару представлений (второе- это с девятками в периоде). А вот иррациональное число представляется десятичной дробью однозначно. Еще осталось подумать, как насчет периодических дес. дробей. Пожалуй они тоже представимы однозначно.

[E.L.Xenu]

см определение вещественных чисел

[kouzer]

Доброго времени суток, к вопросу об эпсилон:
Существует ли число, равное 0.(0)1, так сказать бесконечное количество нулей (в периоде), а в конце единица?

[meduza]

Нет, запись абсолютно бессмысленна, т. к. не определено, где же эта единица стоит.

[DmitriyMB]

meduza в сообщении #325346 писал(а):

Нет, запись абсолютно бессмысленна, т. к. не определено, где же эта единица стоит.

Это бесконечно малая величина,а вообще я где-то читал про такие числа

[meduza]

(Оффтоп)

kouzer, не слушайте DmitriyMB, он ересь говорит. "Бесконечно малой величины" (в смыле числа) не бывает, бывает б. м. функция, но она тут никоим боком.

[ИСН]

DmitriyMB в сообщении #325348 писал(а):

я где-то читал про такие числа

Ха! Я одно из них как-то даже живьём видел в лесу, но оно быстро убежало.

[DmitriyMB]

meduza в сообщении #325351 писал(а):

(Оффтоп)

kouzer, не слушайте DmitriyMB, он ересь говорит. "Бесконечно малой величины" (в смыле числа) не бывает, бывает б. м. функция, но она тут никоим боком.

бывает,в нестандартном анализе например

[Хорхе]

Вообще это вопрос о том, почему Ахиллес догонит черепаху.

[Gavrisych]

kouzer в сообщении #325344 писал(а):

Существует ли число, равное 0.(0)1, так сказать бесконечное количество нулей (в периоде), а в конце единица?

В математике слова "существует" и "не приводит к противоречиям" являются синонимами. Ясно, что вопрос о противоречии того или иного утверждения $P$ лишён какого-либо смысла, покуда не указана система аксиом $T$, которой $P$ может противоречить или не противоречить. Сказать, что утверждение $P$ является истинным относительно системы аксиом $T$ - это всё равно что сказать "пользуясь только утверждениями из множества $T \cup \{P\}$, нельзя доказать отрицание утверждения $P$".

По крайней мере, так обстоят дела в классической математике. Можно рассматривать какую-нибудь альтернативную математику, в которой объект существует тогда и только тогда, когда с помощью какого-либо разрешимого алгоритма можно отличить этот объект от других объектов (в такой математике, например, открытыми остаются вопросы о существовании некоторых объектов, для которых существование в классическом смысле следует из аксиомы выдра: строгий линейный порядок на множестве действительных чисел, базиса Гамеля и т.д.)

И если уж оставаться в рамках классической математики, то правильнее говорить не просто о существовании, а о существовании в том или ином множестве. Существует ли корень из минус единицы? Да - в множестве комплексных чисел, нет - в множестве действительных чисел. Аналогично, "существует ли число, равное 0.(0)1"? Нет - в множестве действительных чисел. Но ничто не мешает присоединить такое число к множетсву действительных чисел и попробовать дополнить, например, получившееся множество до поля. И слова

meduza в сообщении #325346 писал(а):

Нет, запись абсолютно бессмысленна, т. к. не определено, где же эта единица стоит.

здесь совершенно не уместны, потому что как запись как раз абсолютно корректна: индекс элемента в строке всегда является ординалом, и единица стоит на позиции, индекс которой обозначается наименьшим бесконечным ординалом.

То же самое относится и к исходному вопросу о числах 0.(9) и 1. В классическом матанализе это просто две разные формы записи одного и того же числа, как, например, 1/2 и 2/4. Но ничто не мешает построить альтернативный анализ, в котором 0.(9) будет отличаться от 1. Практической надобности в такой теории, скорее всего не возникнет, но разве это может заботить чистого математика? Теория чисел веками ждала изобретения компьютеров, прежде чем оказаться полезной для криптографии.

И последнее: понятие "число" - это понятие философское, а не математическое. Для кого-то кватернионы - не числа, а для кого-то четырёхэлементное поле состоит из чисел.

[bot]

(Оффтоп)

Gavrisych в сообщении #1168141 писал(а):

понятие "число" - это понятие философское, а не математическое

Пожалейте числа, поберегите их от философов.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Gavrisych в сообщении #1168141 писал(а):

То же самое относится и к исходному вопросу о числах 0.(9) и 1. В классическом матанализе это просто две разные формы записи одного и того же числа, как, например, 1/2 и 2/4. Но ничто не мешает построить альтернативный анализ, в котором 0.(9) будет отличаться от 1. Практической надобности в такой теории, скорее всего не возникнет, но разве это может заботить чистого математика? Теория чисел веками ждала изобретения компьютеров, прежде чем оказаться полезной для криптографии.

Как в кино!

[sergei1961]

Потому что число в десятичной записи определяется на самом деле как сумма ряда, хотя часто это скрывают, а суммы этих двух рядов равны. Значит и сами числа равны. Остальное-нестрогая лирика.

[bot]

sergei1961 в сообщении #1169398 писал(а):

Потому что число в десятичной записи определяется на самом деле как сумма ряда

Не обязательно и вообще ответ на почему зависит от того, как действительные числа вводятся.

-- Чт ноя 17, 2016 09:41:44 --

Даже обязательно нет. Ибо какая быть может сумма ряда, если и чисел действительных ещё нет.