А почему 0.9(9)=1?

[ЕвгенийТ]

Добрый день, господа.

А кто подскажет, почему 0.9(9) = 1? Почему в десятичной (и не только) системе счисления, некоторые числа могут иметь два представления?

[Dan_Te]

1. Попробуйте прибавить к 0.(9) что-нибудь положительное, и вы обязательно получите число, большее единицы, что было бы невозможно, елси бы 0.(9) было меньше единицы.
2. Ну типа так получается...

[Dialectic]

ЕвгенийТ писал(а):

Добрый день, господа.

Почему в десятичной (и не только) системе счисления, некоторые числа могут иметь два представления?

Таких чисел бесконечно много. Любое число не являющееяс бесконечнои не периодической
и бесконечной переодической дробью обязательно имеет два способа представления.
И связанно это с произвольностью выбора одного из концов отрезка при построении
числа B=A,a1,a2,....
Попробую объяснить по понятней:
Построём некоторое действительное число: пусть например известно
что оно заключено между 5 и 6. тогда пишем 5 и ставим запятую. Затем отрезок [5,6]
делим на 10 частей (если в 10 системе, а если например в 3 то на 3). Отрезок [5,6]
у нас приэтом разбивается на 10 малениких отрезков имеющих вид:
[5,0; 5,1], [5,1; 5,2],[5,2; 5,3],[5,3; 5,4],[5,4; 5,5],[5,5; 5,6],[5,6; 5,7],[5,7; 5,8],[5,8; 5,9]
[5,9;6,0]. Если оно попадет "внутрь" 3-го отрезка то для него будет выполняться
5,2<B<5,2+ (0,1)^1 Затем опять разобъем огтрезок [5,2; 5,3] на 10 часте и выберем тот из них в котором находится наше число, пусть например это будет второй отрезок тогда для числа B имеем 5,21<B<5,21+(0,1)^2 . Затем опять разобьём... опять выберем и т.д. короче в конце концов мы построим наше число. Но если наше число представляет конечную десятичную дробь то рано или поздно мы столкнёмся с ситуацией когда наше число совпадёт с одним из концов какого либо отрезочка. То есть попадёт "одновременно в два" отрезка. И тогда нам уже всё равно какой из этих отрезков в дальнейшем разбивать- хоть левый хоть правый. В зависимости от того какой кому больше нравится, мы и получим два различных представления нашего числа. Если мы например выбрали левый то у нас будут далее идти все 9 . А если правый то все нули. Разница же
между двумя этими числами будет равна (0,1)^n и становится сколь угодно
малой с возрастанием n. То есть длина этих отрезков стремится к нулю, а по
теореме о вложеных шарах эти числа в пределе равны.
Понятней я немогу объяснить-извините.

[ЕвгенийТ]

Да! Но имеено к этому алгоритму образования бесконечной десятичной записи действительного числа у меня и претензии.

Ведь можно разбить отрезок [5,6] на 10 частей, но так, что получим такое покрытие [5.0,5.1),[5.1,5.2),[5.2,5.3),[5.3,5.4),[5.4,5.5),[5.5,5.6),[5.6,5.7),[5.7,5.8),[5.8,5.9),[5.9,6.0). Правда это будет уже не отрезок. Тогда изменим условия задачи: пусть мы знаем, что наше число B находится в полуинтервале [5,6) и перед нами стоит задача найти его бесконечное десятичное представление. Будем его искать предложеным алгоритмом. Но тогда на каждом шаге n, искомое число будет принадлежать одному и тольоко одному отрезку, хоть имеет оно конечное представление, хоть бесконечное. В первом случае (число имеет конечное представление) получим, что оно на каком-то n будет левым концом одного из полуинтервалов и в его бесконечной десятичной записи мы получим нули в разрядах не меньших n. И все нормально!

Проблема в том, что этот алгоритм никак не связан проблемой, ИМХО. Из него логически не следует что 0.9(9)=1. Я предложил такой же алгоритм, исправляющий эту проблему, но с видоизмененным процессом деления полуинтервала. И из него следует противоположное.

Имхо, равеноство 0.9(9) и 1 следует из того, что при попытке найти расстояние между этимим числами мы ничего не находим кроме нуля! Действительно \lim\limits_{n\to\infty} (0.1)^n=0.

Как считаете?

[PAV]

Соглашение о том, что десятичная дробь не может оканчиваться всеми девятками, как раз и означает, что мы договорились выкалывать правые концы всех интервалов, что избавляет нас от неоднозначности.

При этом на самом деле такая дробь просто не может появиться, так как пересечение интервалов тогда будет пустым множеством.

[ЕвгенийТ]

PAV писал(а):

Соглашение о том, что десятичная дробь не может оканчиваться всеми девятками, как раз и означает, что мы договорились выкалывать правые концы всех интервалов, что избавляет нас от неоднозначности.

При этом на самом деле такая дробь просто не может появиться, так как пересечение интервалов тогда будет пустым множеством.

Сорри, но из Вашего поста я не пойму где все таки истина.

[PAV]

Сначала поясните, в чем состоит Ваш вопрос. Почему одно и то же число может иметь два представления - уже объяснено.

[ЕвгенийТ]

PAV писал(а):

Сначала поясните, в чем состоит Ваш вопрос. Почему одно и то же число может иметь два представления - уже объяснено.

Еще не объяснено, имхо, потому, что можно и иначе.

Почему одно и тоже число может иметь два представления мне понятно (а может и не понятно) но совсем не из приведенного алгоритма. Скорее это следует из того, что при попытке найти разницу чисел 0.9(9) и 1 мы натыкаемся на проблему того, что ничего не можем найти конструктивно -- и полагаем ее равной 0, классически. А алгоритмом (видоизмененным) можно добится однозначности, и следовательно невыполнения 0.9(9)=1

[Someone]

ЕвгенийТ писал(а):

Скорее это следует из того, что при попытке найти разницу чисел 0.9(9) и 1 мы натыкаемся на проблему того, что ничего не можем найти конструктивно

Не понял, что имеется в виду. Совершенно конструктивно проверяется, что $|0.(9)-1|<\varepsilon$ для любого положительного числа $\varepsilon$, то есть, что эта разность по абсолютной величине меньше любого положительного числа. Следовательно, она равна $0$.

ЕвгенийТ писал(а):

А алгоритмом (видоизмененным) можно добится однозначности, и следовательно невыполнения 0.9(9)=1

Продемонстрируйте. Чтобы не быть голословным.

[PAV]

Если пользоваться предложенным Вами методом (вместо замкнутых интервалов [5.0;5.1] рассматривать интервалы [5.0;5.1) ) то числа вида 0.9(9) просто не будут появляться. А равенство 0.9(9)=1 все равно выполнено всегда. Просто можно договориться, что числа такого вида не имеют смысла.

[ЕвгенийТ]

Someone писал(а):

ЕвгенийТ писал(а):

Скорее это следует из того, что при попытке найти разницу чисел 0.9(9) и 1 мы натыкаемся на проблему того, что ничего не можем найти конструктивно

Не понял, что имеется в виду. Совершенно конструктивно проверяется, что $|0.(9)-1|<\varepsilon$ для любого положительного числа $\varepsilon$, то есть, что эта разность по абсолютной величине меньше любого положительного числа. Следовательно, она равна $0$.

Сорри, за неточность. Когда писал, что "...ничего не можем найти..." имел в виду "ничего не можем найти кроме нуля или эпсилон" -- ваш комент верен -- конструктивно, основываясь на абстракции потенциальной осуществимости, мы получаем потенциальный, а в силу этой абстракции и актуальный нуль! То есть в коструктивном смысле эти два числа равны. Ну и классически, эти два числа равны, т.к. идеи те же.

Я, в принципе убежден, что это одно и тоже число. В принципе доказательство этому есть. Но вопрос о роли алгоритма остается открытым.

Someone писал(а):

ЕвгенийТ писал(а):

А алгоритмом (видоизмененным) можно добится однозначности, и следовательно невыполнения 0.9(9)=1

Продемонстрируйте. Чтобы не быть голословным.

Там выше (во втором посту) я писал, что можно разбить полуинтервал [5,6), на 10 полуинтервалов, и тогда получим, что число 5.550(0) будет иметь только такую форму, а число 5.549(9) будет сколь угодно близким к 5.550(0), но его не достигнет, потому, что они находятся в различных полуинтервалах.

Получается, что число 5.549(9) довольно самостоятельно по отношению к 5.550(0) и не является его вторым именем. Но с другой стороны, между этими числами невозможно вставить какоелибо иное, отличное от этиъ двух чисел, число. Значит что-то с алгоритмом.

Бред какой-то. Пока не пойму где глюк.

Добавлено спустя 2 минуты 45 секунд:

PAV писал(а):

Если пользоваться предложенным Вами методом (вместо замкнутых интервалов [5.0;5.1] рассматривать интервалы [5.0;5.1) ) то числа вида 0.9(9) просто не будут появляться. А равенство 0.9(9)=1 все равно выполнено всегда. Просто можно договориться, что числа такого вида не имеют смысла.

В принципе, Вы внесли ясность в рассматриваемый вопрос. Все так.

Спасибо всем.

Перенес. (dm)

[geomath]

ЕвгенийТ писал(а):

Спасибо всем.

Подождите малость. Коль скоро вы говорили о неоднозначности представления чисел, напомните для полноты картины, почему бесконечную периодическую (с некоторого момента) дробь всегда можно представить в виде отношения целых чисел, и наоборот?

[worm2]

Периодическую дробь 0.(abcd...x) можно представить как abcd..x * 0.(0000...1). Если последнюю умножить на 9999...9, то получится 0.(9), т.е. 1. Значит, 0.(abcd...x) = abcd...x/9999...9.
Ну а с дробями, которые периодичны начиная с некоторого момента, попробуйте разобраться сами.

[ЕвгенийТ]

geomath писал(а):

ЕвгенийТ писал(а):

Спасибо всем.

Подождите малость. Коль скоро вы говорили о неоднозначности представления чисел, напомните для полноты картины, почему бесконечную периодическую (с некоторого момента) дробь всегда можно представить в виде отношения целых чисел, и наоборот?

Да, действительно, 1=9/9 =0.9(9).

[worm2]

Ах да, забыл про "наоборот".
Пусть дана дробь r = P/Q. Рассмотрим остатки от деления $10^n$ на Q, n = 0, 1, 2, ..., Q. По принципу Дирихле среди них найдутся два одинаковых. Значит, найдутся такие m и n, что $10^m-10^n$ делится на Q, $10^m-10^n$ = Q*S. Тогда r = (P*S)/(Q*S) = (P*S)/($10^m-10^n$) = 0.0...1 * P*S/999...9 = ZZ...Z.YY...Y(XX...X), где XX...X - десятичная запись остатка от деления P*S на 999...9, а ZZ..ZYY...Y --- десятичная запись целой части от деления P*S на 999...9.