А почему 0.9(9)=1?

[sergei1961]

Я различаю число и число в десятичной записи, а Вы?

[bot]

Что Вы различаете? На одной чаше - число, а на другой "число в десятичной записи". А что это такое?

[arseniiv]

Видимо, имеется в виду просто последовательность цифр со знаком из $\{\pm1\}\times\mathbf10^+\times\mathbf10^{\mathbb N}$, $\mathbf10=\{0,\ldots,9\}$. Я бы тоже не называл её «числом в десятичной записи», а, на худой конец, просто «десятичной записью».

[bot]

Да собственно неважно, что имелось в виду - важно как вводились действительные числа - сечения, фундаментальные последовательности, десятичные дроби ...
Ответ на вопрос будет при каждом из подходов свой.
К примеру, взять десятичные дроби, судя по вопросу так и "мыслятся" десятичные числа. Мыслятся взял в кавычки, поскольку скорее всего мысли там и не было - просто Марьванна сказала про бесконечные дроби и всё.
А ответ на вопрос кроется в определении отношения неравенства. А равенство - это когда нету меньше и нету больше. Мы ведь хотим от действительных чисел линейности порядка?
Ну так вот, почему $0.(9)=1,(0)$? А потому, что нету $0.(9)>1,(0)$ и нету $0.(9) <1,(0)$
А уж как строгое неравенство определить - оставим ТС, тут ведь всё естественно.

-- Сб ноя 19, 2016 10:14:03 --

Нет, не ТС - его уж и след простыл, но животрепещущий вопрос вновь и вновь поднимается.