Пожалуйста, объясните, что такое алгебра комплексных чисел

[xni]

Добрый день!
Я изучаю самостоятельно учебник Винберга и не могу разобраться с переходом, когда он показывает, что комплексные числа образуют алгебру над полем R.

Вот мои рассуждения:
В принципе, если мы хотим от поля, чтобы в нем операция извлечения квадратного корня была определена для всех элементов, то к полю R достаточно добавить элемент i: $\mathbb{C} = \mathbb{R} \cap {i, -i}$
Затем, как я понимаю, доказывается изоморфизм $\mathbb{R}^2$ и C. Тут все ясно.
Но как C может стать алгеброй над R? Алгебра задается двумя множествами: полем K и кольцом A, причем K и A образуют линейное пространсово и выполняется соотношение для произведений.
Я не понимаю, что выступает в данном случае кольцом A, что --- полем K. Логично предположить, что A = R и K = R. Но в этом случае должна быть какая-то специфическая операция умножения K на A, иначе это будет не алгебра, а, по свойствам кольца, видимо, просто ассоциативное кольцо с элементами из R.

[Lazy]

Насколько я знаю, алгебра определяется как пара $A(K,S)$, где $K$ - множество (не обязательно кольцо, тем более поле) и $S$ - набор операций. Таким образом, в учебнике, я так понимаю, показывается что поле $\mathbb{C}$ является расширением поля $\mathbb{R}$, при котором сигнатура алгебры (то есть набор операций) сохраняется.

Вот и все, вроде

[caxap]

Любое поле является векторным пространством над собой (в качестве операций сложения векторов и умножения на скаляр берём операции сложения и умножения из поля). Это понятно?

Если $K$ -- подполе $F$, то $F$ -- векторное пространство над $K$. Это понятно?

Чтобы из векторного пространства сделать алгебру, надо добавить возможность умножения векторов (+ соблюсти условия на это умножение). А в предыдущем примере в качестве векторного умножения можно взять умножение в поле $F$ (условия все удовлетворятся). Это понятно?

У вас $K=\mathbb R$, $F=\mathbb C$. В полученной алгебре можно ввести базис $(1,i)$ и остальные векторы получать умножением на скаляры (элементы $K$) и сложением векторов.

[ewert]

xni в сообщении #445659 писал(а):

Логично предположить, что A = R и K = R

Нелогично. Действительно, $K=\mathbb R$, но вот под $A$ должно пониматься $\mathbb C$ -- это же непосредственно в условии задачи сказано.

Кроме того, в условиях задачи должны содержаться слова типа "относительно естественных операций" (а если их нет, то они подразумеваются, иначе условие выглядело бы бессмысленно).

Ну так сложение комплексных чисел и их умножение на вещественные, интерпретируемые как операции линейного пространства $\mathbb C$ над полем $\mathbb R$, и умножение комплексных чисел друг на друга, интерпретируемое как алгебраическая операция, естественно, удовлетворяют всем аксиомам алгебры -- просто потому, что эти аксиомы являются сужением набора аксиом поля для $\mathbb C$, интерпретируемого как поле само по себе.

[arseniiv]

Lazy в сообщении #445686 писал(а):

Насколько я знаю, алгебра определяется как пара $A(K,S)$, где $K$ - множество (не обязательно кольцо, тем более поле) и $S$ - набор операций. Таким образом, в учебнике, я так понимаю, показывается что поле $\mathbb{C}$ является расширением поля $\mathbb{R}$, при котором сигнатура алгебры (то есть набор операций) сохраняется.

(Ну, буква $A$ здесь явно лишняя.) У меня тоже было маленькое недоразумение, когда мы на линейной алгебре проходили алгебры, потому что то, что я раньше считал алгеброй, оказалось тем, что чаще называют алгебраической системой или абстрактной алгеброй. Такой вот терминологический клубок. Видимо, те, кому алгебры — векторные пространства мало нужны, сокращают алгебраическую систему до алгебры для удобства речи.

[xni]

caxap, ewert
Благодарю Вас, я понял!
$\mathbb{C}$ --- алгебра над $\mathbb{R}$, это означает, что в качестве поля K мы возьмем $\mathbb{R}$, а в качестве векторного пространства A --- $\mathbb{C}$.

Получается, что мой вопрос не сложный и происходит от того, что я не освоил терминологию.

Спасибо!

[VAL]

xni в сообщении #445659 писал(а):

В принципе, если мы хотим от поля, чтобы в нем операция извлечения квадратного корня была определена для всех элементов, то к полю R достаточно добавить элемент i: $\mathbb{C} = \mathbb{R} \cap {i, -i}$

По существу Вам уже ответили. А я, извините, с критикой встряну. Уж больно мне Ваша формула "понравилась"
Во-первых, пересекать (объединять) множество с "просто элементами" категорически возбраняется. Есть у математиков такое табу.
Во-вторых, даже если Вы напишете $\mathbb{C} = \mathbb{R} \cap \{i, -i\}$, получится $\emptyset$.
Но даже, если вы замените $\cap$ на $\cup$ все равно никакой алгебры не получится. Получится множество, на котором не выполнимы, ни сложение, ни умножение, ни внешнее умножение на элементы из $\mathbb R$.

-- 14 май 2011, 22:51 --

Lazy в сообщении #445686 писал(а):

Насколько я знаю, алгебра определяется как пара $A(K,S)$, где $K$ - множество (не обязательно кольцо, тем более поле) и $S$ - набор операций.

Это терминологическая проблема.

Многие математические термины перегружены значениями. То же "поле" имеет массу значений. Но, по счастью, в алгебре это термин понимается однозначно.
Хуже обстоит дело такими терминами как "порядок", "модуль"... Они имеют несколько значений уже внутри самой математики и даже внутри алгебры.
Термин "алгебра" из этого же ряда.
Во-первых, это раздел математики (и даже в этом смысле в школе и за ее пределами предмет алгебры понимается по-разному).
Во-вторых, это некая алгебраическая система, наделенная одновременно структурой кольца и модуля (если модуль понимать в нужном смысле ). Алгебра комплексных чисел или, скажем, кватернионов - из этой когорты.
В-третьих, термин "алгебра" можно поминать в том смысле, о котором писали Вы. Такой подход распространен среди универсальщиков. Например, алгебра с двумя унарными коммутирующими операциями.

[Munin]

VAL в сообщении #445904 писал(а):

получится $\emptyset$

$\varnothing$

[xni]

Владимир, про объединение и скобки, конечно, понимаю, глупость написал.
Я правильно понял Ваше замечание, что введя только элементы $\{i, -i\}$ мы не получим, скажем, что $(5 + i) \in \mathbb{R} \cup \{i, -i\}$, поэтому полученное множество не будет полем?
Мне очень нужно хорошо разобираться в линейной алгебре, поэтому все промахи и тогкости имеют не второстепенное значение. Спасибо Вам за замечание!

Да, в учебнике поле $\mathbb{C}$ описывается так: поле $\mathbb{C}$ является $\mathbb{R}$ расширенным элементами $\{i, -i\}$ и содержащее так же любую комбинацию вида $a + ib,\quad a, b \in \mathbb{R}$.

[VAL]

xni в сообщении #445915 писал(а):

Я правильно понял Ваше замечание, что введя только элементы $\{i, -i\}$ мы не получим, скажем, что $(5 + i) \in \mathbb{R} \cup \{i, -i\}$, поэтому полученное множество не будет полем?

Именно!

Цитата:

Да, в учебнике поле $\mathbb{C}$ описывается так: поле $\mathbb{C}$ является $\mathbb{R}$ расширенным элементами $\{i, -i\}$ и содержащее так же любую комбинацию вида $a + ib,\quad a, b \in \mathbb{R}$.

В таком контексте $-i$ лишнее.

[Munin]

xni
Вам нужно думать не на уровне множеств, а на уровне векторных пространств. Вы не добавляете $i$ как элемент множества, а добавляете к пространству новый базисный вектор. Соответственно, автоматически добавляются и все линейные комбинации нового вектора со старым пространством.

[ewert]

Вообще-то надо думать о $\mathbb C$ как о $\mathbb C$ как таковом. Задачка явно не интересуется, как конкретно это множество было введено; она явно полагает, что оно уже есть (и, следовательно, само по себе -- поле, и что $\mathbb R$ является его подполем, с точностью до всем известного изоморфизма) .

[Munin]

Я не увидел никакой "задачки".

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #446227 писал(а):

Я не увидел никакой "задачки".

xni в сообщении #445659 писал(а):

когда он показывает, что

это называется "задачка"; и это совершенно точно не является элементом теории