2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1, и все они - квадраты?

[Xenia1996]

Доказать, что не существует такого натурального числа n, для которого $2n^2+1, 3n^2+1$ и $6n^2+1$ являются квадратами целых чисел.

[Xenia1996]

(Подсказка: вспомните байку о Капице и молотке.)

[nnosipov]

Хорошо, что $2 \cdot 3=6$, а то чтоб мы делали ...

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #445953 писал(а):

Хорошо, что $2 \cdot 3=6$, а то чтоб мы делали ...

А что? Вы нашли некое общее решение для $an^2+1, bn^2+1, cn^2+1$?
Утверждение ведь не при любых $a, b, c$ верно.

[Руст]

Xenia1996 в сообщении #445977 писал(а):

nnosipov в сообщении #445953 писал(а):

Хорошо, что $2 \cdot 3=6$, а то чтоб мы делали ...

А что? Вы нашли некое общее решение для $an^2+1, bn^2+1, cn^2+1$?
Утверждение ведь не при любых $a, b, c$ верно.

Он имеет ввиду, что оно верно при любых $c=ab$ (это детская задача). В этом случае автоматический $a,b,c$ сами не являются квадратами.

[w0robey]

Xenia1996 в сообщении #445977 писал(а):

А что? Вы нашли некое общее решение для $an^2+1, bn^2+1, cn^2+1$?
Утверждение ведь не при любых $a, b, c$ верно.

Три уравнения Пелля - это круто...

[Xenia1996]

w0robey в сообщении #446109 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #445977 писал(а):

А что? Вы нашли некое общее решение для $an^2+1, bn^2+1, cn^2+1$?
Утверждение ведь не при любых $a, b, c$ верно.

Три уравнения Пелля - это круто...

Здесь Пелль не нужен.

[nnosipov]

Руст в сообщении #446026 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #445977 писал(а):

nnosipov в сообщении #445953 писал(а):

Хорошо, что $2 \cdot 3=6$, а то чтоб мы делали ...

А что? Вы нашли некое общее решение для $an^2+1, bn^2+1, cn^2+1$?
Утверждение ведь не при любых $a, b, c$ верно.

Он имеет ввиду, что оно верно при любых $c=ab$ (это детская задача). В этом случае автоматический $a,b,c$ сами не являются квадратами.

Здесь надо всё-таки добавить: все три числа $an^2+1$, $bn^2+1$, $abn^2+1$ не могут быть одновременно точными квадратами при всех $n$, начиная с некоторого. Дело в том, что для бесконечно многих пар $(a,b)$ числа $a+1$, $b+1$, $ab+1$ (получаемые при $n=1$) могут быть одновременно точными квадратами.

[w0robey]

Xenia1996 в сообщении #446186 писал(а):

Здесь Пелль не нужен.

А вы решили общую задачу?

[Руст]

Цитата:

Здесь надо всё-таки добавить: все три числа $an^2+1$, $bn^2+1$, $abn^2+1$ не могут быть одновременно точными квадратами при всех $n$, начиная с некоторого. Дело в том, что для бесконечно многих пар $(a,b)$ числа $a+1$, $b+1$, $ab+1$ (получаемые при $n=1$) могут быть одновременно точными квадратами.

Я мягко говоря поторопился, утверждая, что при любых $a,b,c=ab$ не существует $n$, что $an^2+1,bn^2+1,cn^2+1$ являются квадратами.
Однако и ваше утверждение о бесконечности числа решений $a=x^2-1,b=y^2-1, ab=z^2-1=(x^2-1)(y^2-1)$ весьма сомнительна.

[Xenia1996]

w0robey в сообщении #446246 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #446186 писал(а):

Здесь Пелль не нужен.

А вы решили общую задачу?

Общую - нет.
Я говорила про частную...

[Equinoxe]

Руст, это в каком месте она сомнительна?
$(x^2-1)((x+1)^2-1)=(x^2+x-1)^2-1$

[Руст]

Да я тоже нашел такое параметрическое решение. Возможно других нет.

[Equinoxe]

Руст, нет, есть, программа находит всяческие (2, 11), (2, 41), (3, 11), (3, 23)…

[Руст]

Да. При любом не квадрате а существует бесконечно много n, что $an^2+1$ квадрат и для полученных $a,n$ существуют бесконечно много значений $b$, что $bn^2+1$ и $abn^2+1$ так же квадраты.
Обозначим $x^2=bn^2+1, y^2=abn^2+1$, т.е. $b=\frac{x^2-1}{n^2}, y^2-ax^2=1-a$. У последнего уравнения есть решение $x=y=1$ а значит бесконечно много решений. Среди них бесконечно много таких, что $n^2|x^2-1$. В этом случае $n^2|a(x^2-1)=y^2-1$ .