А почему, собственно, мы имеем право подставлять вместо числа матрицу?
Формально -- имеем, только надо правильно интерпретировать то, что получится. В выражении
![$\det(AE-A)$ $\det(AE-A)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/3/6d3a728a4059c9b977f61debef36f05682.png)
получится вовсе не
![$\det(A-A)$ $\det(A-A)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/b/16bcf36168b57d34295e89c8475922a382.png)
, а нечто экзотическое. Там будет (если мы хотим, чтобы это действительно совпадало с
![$\det(tE-A)|_{t=A}$ $\det(tE-A)|_{t=A}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/e/dfe31c92d171c36d6344c73f740297d882.png)
) блочная матрица, у которой на диагонали стоят блоки
![$(A-a_{ii}E)$ $(A-a_{ii}E)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/9/8/698d81f1453fda8abcf388b8f4b2675e82.png)
, а вне диагонали -- блоки
![$(-a_{ik}E)$ $(-a_{ik}E)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/4/e84ab98526936dd43ea62f1594d5eef482.png)
. И вот для блоков этой матрицы мы пишем комбинацию матричных умножений и сложений, формально соответствующую правилу вычисления определителя. Ну написать-то можем, да; только вот ниоткуда заранее не следует, что в результате получится почему-то нулевая матрица.
Действия не коммутативны...
Нет, до коммутативности или некоммутативности тут дело доже не доходит. Как метко заметил
caxap, равенство
![$\det(tE-A)|_{t=A}=\det(AE-A)$ $\det(tE-A)|_{t=A}=\det(AE-A)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/6/df69e3546bf036c0c68e9eee76e0c63e82.png)
не то что даже неверно, а попросту бессмысленно.