Замечание к теореме Гамильтона-Кэли

[dmitryf]

В Кострикине есть замечание:

Казалось бы, $det(tE-A)|_{t=A} = det(AE-A) = det 0 = 0$, и теорема Г-К доказана. Но это совершенно неверное рассуждение.

Здесь симантически нельзя использовать матрицу по каким-то причинам?

[caxap]

$\operatorname{det}(tE-A)|_{t=A}=O$ -- нулевая матрица.
$\operatorname{det}(AE-A)=0$ -- число.

[Kallikanzarid]

А почему, собственно, мы имеем право подставлять вместо числа матрицу?

[ShMaxG]

dmitryf
Похоже вот на что:
$ \[\left( {\frac{d} {{dx}}f\left( x \right)} \right)\left| \begin{gathered} \hfill \\ x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. = \frac{d} {{dx}}\left( {f\left( 0 \right)} \right) = 0\]$

Действия не коммутативны...

[ewert]

Kallikanzarid в сообщении #445350 писал(а):

А почему, собственно, мы имеем право подставлять вместо числа матрицу?

Формально -- имеем, только надо правильно интерпретировать то, что получится. В выражении $\det(AE-A)$ получится вовсе не $\det(A-A)$, а нечто экзотическое. Там будет (если мы хотим, чтобы это действительно совпадало с $\det(tE-A)|_{t=A}$) блочная матрица, у которой на диагонали стоят блоки $(A-a_{ii}E)$, а вне диагонали -- блоки $(-a_{ik}E)$. И вот для блоков этой матрицы мы пишем комбинацию матричных умножений и сложений, формально соответствующую правилу вычисления определителя. Ну написать-то можем, да; только вот ниоткуда заранее не следует, что в результате получится почему-то нулевая матрица.

ShMaxG в сообщении #445351 писал(а):

Действия не коммутативны...

Нет, до коммутативности или некоммутативности тут дело доже не доходит. Как метко заметил caxap, равенство $\det(tE-A)|_{t=A}=\det(AE-A)$ не то что даже неверно, а попросту бессмысленно.

[Kallikanzarid]

ewert в сообщении #445352 писал(а):

Формально -- имеем, только надо правильно интерпретировать то, что получится. В выражении $\det(AE-A)$ получится вовсе не $\det(A-A)$, а нечто экзотическое.

В подпись!

[nnosipov]

Теорема Гамильтона-Кэли --- частный случай теоремы Безу, надо лишь предварительно установить делимость характеристического многочлена матрицы $A$ на двучлен $A-\lambda E$ (а это просто, если вспомнить про взаимную матрицу для $A-\lambda E$).

[ewert]

nnosipov в сообщении #445368 писал(а):

(а это просто, если вспомнить про взаимную матрицу для $A-\lambda E$).

Не так быстро. Если $B(\lambda)$ -- присоединённая матрица, то, разумеется, $B(\lambda)\cdot(A-\lambda E)\equiv\det(A-\lambda E)\,E$. Но вот просто так заменить число $\lambda$ в этом тождестве на матрицу -- так сразу не выйдет (и, кстати, для произвольной матрицы вообще не выйдет). Для этого нужно, чтобы подставляемая матрица коммутировала с матричными коэффициентами многочлена $B(\lambda)$. И хотя для конкретно матрицы $A$ это и верно и не очень сложно, но вовсе заранее не очевидно.

[alex1910]

ewert в сообщении #445372 писал(а):

nnosipov в сообщении #445368 писал(а):

(а это просто, если вспомнить про взаимную матрицу для $A-\lambda E$).

Не так быстро. Если $B(\lambda)$ -- присоединённая матрица, то, разумеется, $B(\lambda)\cdot(A-\lambda E)\equiv\det(A-\lambda E)\,E$. Но вот просто так заменить число $\lambda$ в этом тождестве на матрицу -- так сразу не выйдет (и, кстати, для произвольной матрицы вообще не выйдет). Для этого нужно, чтобы подставляемая матрица коммутировала с матричными коэффициентами многочлена $B(\lambda)$. И хотя для конкретно матрицы $A$ это и верно и не очень сложно, но вовсе заранее не очевидно.

Не очевидно то, что f(A,E) и g(A,E) коммутируют? :)

[ewert]

alex1910 в сообщении #445382 писал(а):

Не очевидно то, что f(A,E) и g(A,E) коммутируют? :)

Не очевидно, что $B(\lambda)$ есть функция от $A$. Куда очевиднее (непосредственно), что $B(\lambda)$ коммутирует с $A$. Но и это ещё не всё: нам нужно, чтоб коммутировала не только (и не столько) она сама, но и все её коэффициенты. А это надо доказывать, и достаточно долго: не менее минуты (если вслух).

[alex1910]

ewert в сообщении #445389 писал(а):

alex1910 в сообщении #445382 писал(а):

Не очевидно то, что f(A,E) и g(A,E) коммутируют? :)

Не очевидно, что $B(\lambda)$ есть функция от $A$. Куда очевиднее (непосредственно), что $B(\lambda)$ коммутирует с $A$. Но и это ещё не всё: нам нужно, чтоб коммутировала не только (и не столько) она сама, но и все её коэффициенты. А это надо доказывать, и достаточно долго: не менее минуты (если вслух).

Далась Вам лямбда. Забудьте про нее, рассмотрите многочлен как функцию от матрицы и разложите его на лин. множители.

[nnosipov]

ewert в сообщении #445372 писал(а):

nnosipov в сообщении #445368 писал(а):

(а это просто, если вспомнить про взаимную матрицу для $A-\lambda E$).

Не так быстро. Если $B(\lambda)$ -- присоединённая матрица, то, разумеется, $B(\lambda)\cdot(A-\lambda E)\equiv\det(A-\lambda E)\,E$. Но вот просто так заменить число $\lambda$ в этом тождестве на матрицу -- так сразу не выйдет (и, кстати, для произвольной матрицы вообще не выйдет). Для этого нужно, чтобы подставляемая матрица коммутировала с матричными коэффициентами многочлена $B(\lambda)$. И хотя для конкретно матрицы $A$ это и верно и не очень сложно, но вовсе заранее не очевидно.

Конечно, нужно предварительно заметить, что матричные коэффициенты многочлена $B(\lambda)$ коммутируют с $A$. Для этого достаточно вспомнить про схему Горнера.

[ewert]

alex1910 в сообщении #445400 писал(а):

Забудьте про нее, рассмотрите многочлен как функцию от матрицы

от какой матрицы-то? с какой стати он вдруг функция?...

nnosipov в сообщении #445401 писал(а):

Для этого достаточно вспомнить про схему Горнера.

Не понимаю, какое отношение схема Горнера имеет к коэффициентам, сидящим в алгебраических дополнениях.

Чего-то вы мудрите, всё гораздо элементарнее. Матрицы $B(\lambda)$ и $A$ коммутируют просто потому, что $\det(A-\lambda E)\,E$ -- это не только $B(\lambda)\cdot(A-\lambda E)\,,$ но и $(A-\lambda E)\cdot B(\lambda)\,.$ Теперь достаточно, например, подифференцировать соотношение $B(\lambda)\cdot A=A\cdot B(\lambda)$ по $\lambda$ и поподставлять $\lambda=0$ -- и получится искомое $B_k\cdot A=A\cdot B_k$ для всех коэффициентов многочлена $B(\lambda)$.

Я лишь хотел сказать, что просто так ссылаться на теорему Безу (если исходить только из элементарных соображений, не имея за спиной никакой предварительной теории) -- легкомысленно. И принципиально важно обращать внимание на то, что заменять в том тождестве $\lambda$ можно только на коммутирующие с $B_k$ матрицы.

[nnosipov]

ewert в сообщении #445409 писал(а):

Я лишь хотел сказать, что просто так ссылаться на теорему Безу (если исходить только из элементарных соображений, не имея за спиной никакой предварительной теории) -- легкомысленно. И принципиально важно обращать внимание на то, что заменять в том тождестве $\lambda$ можно только на коммутирующие с $B_k$ матрицы.

Разумеется, надо аккуратно разобраться с теоремой Безу в некоммутативном случае (это и должно быть за спиной). По-моему, схема Горнера (т.е. способ последовательного отыскания коэффициентов неполного частного) должна и здесь сработать. (Кстати, насчёт дифференцирования --- тоже совершенно понятно.)

[ewert]

nnosipov в сообщении #445417 писал(а):

надо аккуратно разобраться с теоремой Безу в некоммутативном случае (это и должно быть за спиной)

Это занятие довольно бессмысленно, если не выстраивать некую достаточно общую теорию лямбда-матриц. Между тем теорема Гамильтона-Кэли сама по себе никакой такой теории не требует.