Операции со счётными множествами.

[hurtsy]

arseniiv в сообщении #444185 писал(а):

Множество $\mathbb N$ и любые другие множества даются нам как один уже построенный объект.

Приведенная фраза является предложением контекстно-зависимого языка. Для меня любые другие множества(из-за отсутствия контекста) эквивалентно множеству всех множеств. С четным количеством не, но тем не менее уважением,

[almost]

Kallikanzarid в сообщении #444557 писал(а):

Не пытайтесь механически переносить теоремы для последовательностей элементов из $\mathbb{R}$ на последовательности с элементами из $\mathbb{N}$.

элементов из $\mathbb{Q}$

Kallikanzarid в сообщении #444557 писал(а):

И прежде, чем даже заикаться о пределе, убедитесь, что ваша последовательность корректно определена.

Да-а-же за-а-а-и-ка-ть-ся за-а-пре-е-ща-а-ют.

[arseniiv]

(Оффтоп)

hurtsy в сообщении #444604 писал(а):

Приведенная фраза является предложением контекстно-зависимого языка. Для меня любые другие множества(из-за отсутствия контекста) эквивалентно множеству всех множеств.

hurtsy, я бы вам рекомендовал писать только тогда, когда вы твёрдо уверены, что у вас ясность мыслей. Почти каждое ваше сообщение являет собой (если вы этого сами не замечаете) мешанину из неправильно понятых терминов, домыслов и странного желания исправить то, что вам кажется неправильным (когда на деле оно верно) из-за неправильно понятых терминов и домыслов.

[Kallikanzarid]

hurtsy в сообщении #444604 писал(а):

Для меня любые другие множества(из-за отсутствия контекста) эквивалентно множеству всех множеств.

Того самого? Которого не существует?

[hurtsy]

Kallikanzarid в сообщении #444956 писал(а):

Того самого? Которого не существует?

Спасибо Совершенно, ага.

(Оффтоп)

Хоть и боюсь arseniiv,потому молчу в офтоп.

С уважением,

[Delvistar]

Вернёмся к множествам.
У нас имеется два конечных множествах, с разной мощностью:

$|A| = 5, |B| = 15$.

Мы можем установить соотношение:

$\frac{A}{B} = 0,333...$

Когда есть конечные множества, то подобным образом мы можем легко установить соотношение. Но вот если ситуация меняется, у нас имеется как минимум два множества, и одно из них конечное а второе счётное:$|A| = C, |B| = \infty$ C - конечная величина. То, какое будет соотношение:

$\frac{A}{B} = ?$

Разве здесь нельзя применять операцию переменными величинами, когда $|A| = C, |B| = +\infty$,
$\frac{A}{B} = 0$ 0 - (переменная) бесконечно-малая величина.

Может быть я не прав в определении метода решения, так какое же может быть соотношение:

$\frac{A}{B} = ?$ А =С , В - имеет пределом плюс-бесконечность.

[almost]

Delvistar в сообщении #444993 писал(а):

$|A| = C, |B| = \infty$ C - конечная величина. То, какое будет соотношение:
$\frac{A}{B} = ?$

Пока не будет согласия, стоит ли вместо $\infty$ рассматривать разные бусконечности ответ не изменится.
Можно попробовать их различать. Я предложил вариант. Проблема не в том, что именно такой подход плох, а в том, что любой из них будет воприниматься в штыки, т.к. потребует новых определений, обозначений, соглашений.
Тем не менее, я бы сказал так. Ответ чему равно $\frac{A}{B} = ?$ зависит от того, чему равно $B=?$ Обозначение $\infty$ не определяет число, использовать его со знаком равенства бесмысленно. Я бы предложил, определить минимальное бесконечное натуральное число, как $x_0$ в последовательности $x_{n+1}=x_n - 1$, если $x_{n \rightarrow \infty} \rightarrow 0$, но говорят это не корректно. А как корректно ? Если не пытаться хоть как-то определить то, о чем говорит топикстартер, то тему давно пора было закрыть. Никак и все.

[--mS--]

(Оффтоп)

Delvistar в сообщении #444993 писал(а):

У нас имеется два конечных множествах, с разной мощностью:

$|A| = 5, |B| = 15$.

Мы можем установить соотношение:

$\frac{A}{B} = 0,333...$

almost в сообщении #445022 писал(а):

Тем не менее, я бы сказал так. Ответ чему равно $\frac{A}{B} = ?$ зависит от того, чему равно $B=?$

Это только мне кажется диким деление множества на множество? Я ещё могу понять, умножение...

[arseniiv]

Delvistar, хорошо, что вы ту штуку назвали «соотношением», потому что она не является взаимно однозначным соответствием (насколько я помню, вы говорили о них), коего не может быть между множествами разных мощностей. Это раз. Взаимно однозначное соответствие — это функция, и берётся она в самом общем случае из вполне определённого множества (которое обозначается $A \times B$, хотя и его, чувствую, рано-рано вводить пока), и то число, которое вы написали, никак в нём не лежит. Это два. Три: для указания взаимно однозначного соответствия не используют знак дроби.

Итого: попробуйте заново. Только на внятно заданный вопрос возможен правильный ответ. На остальные возможен только неправильный. И вам его чуть не дали.

almost в сообщении #445022 писал(а):

Обозначение $\infty$ не определяет число, использовать его со знаком равенства бесмысленно.

Небессмысленно. Можно всегда придумать систему, в которой в качестве констант имеется $\infty$. И такая даже естественная есть — $\mathbb R \mathrm P^1$.

almost в сообщении #445022 писал(а):

Тем не менее, я бы сказал так. Ответ чему равно $\frac{A}{B} = ?$ зависит от того, чему равно $B=?$

И не зависит от $A$? Какой интересный подход к определениям!

almost в сообщении #445022 писал(а):

Я бы предложил, определить минимальное бесконечное натуральное число, как $x_0$ в последовательности $x_{n+1}=x_n - 1$, если $x_{n \rightarrow \infty} \rightarrow 0$, но говорят это не корректно. А как корректно ?

Нестандартный анализ вам в руки (только осторожнее с ним). Однако бесконечных чисел в $\mathbb N$ вы найти не сможете никогда. Они там все конечные. Множество, рассматриваемое в нестандартном анализе, собой $\mathbb N$ не заменяет.

[Виктор Викторов]

Delvistar в сообщении #444993 писал(а):

У нас имеется два конечных множествах, с разной мощностью:
$|A| = 5, |B| = 15$.
Мы можем установить соотношение:
$\frac{A}{B} = 0,333...$
Когда есть конечные множества, то подобным образом мы можем легко установить соотношение. Но вот если ситуация меняется, у нас имеется как минимум два множества, и одно из них конечное а второе счётное:$|A| = C, |B| = \infty$ C - конечная величина. То, какое будет соотношение:
$\frac{A}{B} = ?$

$\frac{A}{B} = 0,333...$ -- это «соотношение» Ваш вклад в математику. До Вас существовало отношение (деление) конечных мощностей $\frac{|A|}{|B|} = 0,333...$. $|B| = \infty$ -- такой мощности не существует. Но существуют различные бесконечные мощности. Ваш вопрос: «Можно ли и, если можно, то как разделить конечную мощность на бесконечную?» Вам нужно взять учебник и почитать про арифметику кардиналов. В общем случае с обратными действиями (вычитание и деление) за пределами действительных чисел туго. И кардинальная арифметика сильно отличается от арифметики действительных чисел.
Вот пример, когда удалось решить проблему обратимости бинарной операции. Операции объединения, пересечения и вычитания множеств не имеют обратных. Причем, вычитание одного множества из другого не является обратным к объединению множеств (проверьте!). Так вот была создана бинарная операция симметрическая разность и ... она обратна сама себе!

[Delvistar]

Если у нас одно множество и другое, то мы не делим одно множество на другое, а находим соотношение их мощностей. Если в одном кармане 2 рубля, а в другом 5, то в первом в 2,5 раза меньше. Это же элементарно.

Это не мой вклад в математику, я к тому, что бы на этом примере, определить соотношение множества с конечной мощностью к мощности $\aleph_{0}$.

Если рассуждать просто с допущением разных вариантов:

1. Ответ - конечная величина. Тогда Множество А должно быть бесконечным.

2. Ответ - переменная величина, бесконечно-большая. Тогда опять же, множество А должно быть бесконечным.

3. Ответ - переменная, бесконечно-малая величина. Этот вариант допустим.

Разве, любая конечная величина, перед плюс-бесконечной величиной, не бесконечно-малая величина?

А первое число, которое больше всех конечных натуральных чисел, то разве это не $\omega$? Можно дать и иное определение, но смысл? Только если это позволит выстроить лучшею и корректную систему чем у Кантора.

Допустим и возьмём как аксиому, то что число больше всех конечных натуральных чисел, это $\omega$, и тогда напрашивается как бы криминальный вопрос, а какое соотношение этой величины к всем числам подобного рода в пределах мощности $\aleph_{0}$ . Можно ли это соотношение установить?

Но, меня больше интересует соотношение мощностей $\frac{A}{B} = ?$ A - С(конечная величина). B - $\aleph_{0}$.

[Виктор Викторов]

Delvistar в сообщении #445108 писал(а):

Но, меня больше интересует соотношение мощностей $\frac{A}{B} = ?$ A - С(конечная величина). B - $\aleph_{0}$.

Вас интересует соотношение мощностей, но «нарисовали» Вы соотношение множеств $\frac{A}{B} = ?$. Что касается арифметики кардиналов, то возьмите в руки учебник. Это действительно элементарно! Замечу только, что результат деления может быть не определен и хуже того не определяем!

[Kallikanzarid]

Виктор Викторов
ЕМНИП, $|X||Y| := |X \times Y|$, поэтому деление $|A|/|B|$ не имеет смысла, если $A$ не представимо в виде $B \times C$. Хотя даже так ничего не получится: $\mathbb{N} \cong \mathbb{N} \times \mathbb{N}$, то есть $\aleph_0 = \aleph_0^2$, деление в такой ситуации разумным образом определить нельзя, так как частное далеко не всегда будет определяться единственным образом. То есть можно говорить, что какой-то кардинал делит другой, но нельзя ввести операцию деления.

(Оффтоп)

Знатно нафлудили 8)

[Виктор Викторов]

Kallikanzarid в сообщении #445128 писал(а):

Виктор Викторов
ЕМНИП, $|X||Y| := |X \times Y|$, поэтому деление $|A|/|B|$ не имеет смысла, если $A$ не представимо в виде $B \times C$. Хотя нет, $\mathbb{N} \cong \mathbb{N} \times \mathbb{N}$, то есть $\aleph_0 = \aleph_0^2$, деление в такой ситуации разумным образом определить нельзя, так как частное далеко не всегда будет определяться единственным образом.

(Оффтоп)

Знатно нафлудили 8)

Да. Вы правы. Поэтому я и отправляю автора темы к учебникам.

[Delvistar]

Хотелось бы услышать ответ в отношении соотношения. Соотношение конечного множества к счётному с минимальной счётной мощностью. Насколько конечное меньше?

И далее. Если у нас $\omega$единица нового вида обобщения чисел, то множество с мощностью $\aleph_{0}$ включает в себя не $10\omega$, $1000\omega$ , а бесконечное$ \omega$.



Если у нас есть взаимно-однозначное соответствие $n \rightarrow 2 n$, то как найти соответствие для $n = \omega+333$, и как происходит переход взаимно-однозначного соответствия от конечных величин к бесконечным? Чему равно первое $2n$?, среди чисел которые у нас отмечены символом $\omega$

Или взаимно-однозначное соответствие корректно только для конечных величин?