Трином n^2+7n+53 и простое число

[Sonic86]

Спасибо, не знал, надо запомнить.

[nnosipov]

У Боревич&Шафаревич сказано, что других мнимых квадратичных полей с $h=1$ нет.

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #443657 писал(а):

Эти числа, которые вот как 163, меня убивают. (Там их ещё несколько штук, но остальные меньше.) Я бы понял, будь их бесконечно много, и у каждого следующего пи-на-корень всё ближе к целому. Или будь их парочка среди первых простых. Или не будь их совсем. Но так! Почему? Откуда это? Что же, раз так, теперь всё можно? Режь, убивай, души гусей?

(Оффтоп)

Как у Вас стоит (ой ) ударение?
"Убивай, души` гусей", или "убивай ду`ши гусей"?

-- Вс май 08, 2011 21:06:43 --

Руст в сообщении #443658 писал(а):

$n^2+7n+53=(n+3)^2+(n+3)+41.$

И?

[ИСН]

(Оффтоп)

Я немного неточно вспомнил. Правильная цитата: "Воруй, убивай, <глагол в повелительном наклонении> гусей!" Это известный мем. Глагол там другой. Я подставил эвфемизм.

[Sonic86]

Xenia1996 в сообщении #443712 писал(а):

Руст писал(а):

$n^2+7n+53=(n+3)^2+(n+3)+41.$
И?

Это есть такой известный мем: Эйлеров многочлен $f(t)=t^2+t+41$. Про него даже в Бухштабе написано. Он выдает первые сорок значений простые, а при $n=41$ - перестает. И обычно задается вопрос: а есть ли еще квадратичные многочлены, выдающие большее число простых чисел подряд.
Ваш многочлен - это завуалированный Эйлеров многочлен.

[Руст]

Цитата:

Руст в сообщении #443658 писал(а):

$n^2+7n+53=(n+3)^2+(n+3)+41.$

И?

Это известный многочлен Эйлера, минимальный простой делитель 41. Кстати достаточно проверить, что он не делится на 2,3,5,7, чтобы доказать, что минимальный простой делитель 41.

-- Вс май 08, 2011 21:56:19 --

Sonic86 в сообщении #443727 писал(а):

И обычно задается вопрос: а есть ли еще квадратичные многочлены, выдающие большее число простых чисел подряд.

Есть квадратные многочлены, которые принимают подряд 45, 43, 42 не разложимых значения. Но не найден ни один многочлен с таким свойством, принимающим подряд более 40 простых значений с отрицательным дискриминантом.

[Xenia1996]

Sonic86 в сообщении #443727 писал(а):

Xenia1996 в сообщении #443712 писал(а):

Руст писал(а):

$n^2+7n+53=(n+3)^2+(n+3)+41.$
И?

Это есть такой известный мем: Эйлеров многочлен $f(t)=t^2+t+41$. Про него даже в Бухштабе написано. Он выдает первые сорок значений простые, а при $n=41$ - перестает. И обычно задается вопрос: а есть ли еще квадратичные многочлены, выдающие большее число простых чисел подряд.
Ваш многочлен - это завуалированный Эйлеров многочлен.

Вот я даже и не знала.
Выходит, независимо от Эйлера, я повторила его открытие?

[Руст]

перестает при $n=40$ $40^2+40+41=41^2$. 40 простых при $n=0,1,...,39$.
Я так же вручную нашел многочлен $f(x)=36x^2+18x-1801$ 45 подряд неразложимых значений при $x=-33,-32,...,11$

[nnosipov]

Руст в сообщении #443730 писал(а):

Цитата:

Это известный многочлен Эйлера, минимальный простой делитель 41. Кстати достаточно проверить, что он не делится на 2,3,5,7, чтобы доказать, что минимальный простой делитель 41.

Есть такая задача (28-я IMO): если $f(x)=x^2+x+p$ и числа $f(0)$, $f(1)$, ... , $f([\sqrt{p/3}])$ --- простые, то простыми будут вообще все числа $f(n)$ при $n=0,1,\dots,p-2$.

[vorvalm]

Трином Эйлера легко доказывается с помощью приведенной системы вычетов
по модулю $M = \prod_2^{37} p$.
Все вычеты этой ПСВ от 41 до 1681 являются простыми числами,
кроме 1681.

[Руст]

Уже сказали, что достаточно проверить простоту $f(0)=41,f(1)=43,f(2)=47,f(3)=53$ или то, что многочлен не делится на простые $\le 7.$ Это Легкое упражнение, откуда следует, что он не делится на простые $\le 41$. Если 41 заменить на другое число $p$, то оценка nnosipov (можно чуть улучшить).

[vorvalm]

Данную проблему можно решить, если вместо тринома рассматривать
последовательность $p_n = p_0 + n(n+1)$, где р простые числа,
n - натуральные числа. Такие последовательности, дающие подряд
простые числа от $p_0$ до $p_0^2$, уникальны.
Мне известны пока только три: при $p_0=11,p_0=17,p_0=41$.

[VAL]

Xenia1996 в сообщении #443619 писал(а):

nnosipov в сообщении #443617 писал(а):

доказать, что число $e^{\pi\sqrt{163}}$ (не поверите, но это так ) --- целое.

Но Ваше число такое же целое, как я - Алла Пугачёва.

Ксения! Неужто Вы так похожи на Аллу Пугачеву?!

[Xenia1996]

VAL в сообщении #447259 писал(а):

Ксения! Неужто Вы так похожи на Аллу Пугачеву?!

(Оффтоп)

Во всяком случае, многие мне это говорят, замечая некоторое сходство Хотя, это скорее она на меня похожа...