Ну вот, кажется, вспомнил. Будем рассматривать числа вида
, где
,
--- целые числа, а
. Оказывается, для этих чисел можно построить арифметику, сходную по свойствам с арифметикой целых чисел. В частности, здесь будет справедлива
основная теорема арифметики --- о единственности разложения в произведение простых чисел (число
указанного вида называется
простым, если оно не представимо в виде произведения
чисел такого же вида, где каждое
отлично от
). В это утверждение придется поверить, поскольку доказательство очень не школьное (и элементарного доказательства скорее всего нет). Так вот, утверждение Эйлера (о том, что при
трёхчлен
принимает простые значения) сводится к следующему: число
будет простым при указанных значениях
. Доказывается это в лоб: пусть
, тогда
Анализируя эту систему равенств, легко обнаружить, что
или
. Следовательно, число
имеет только тривиальное разложение.
Пару слов о том, почему
и не больше. Оказывается, больше не бывает. То есть если
заменить чем-то отрицательным и большим по абсолютной величине, то будет потеряно свойство однозначного разложения на простые сомножители (ещё более сложная теорема, доказанная где-то в середине 20-го века). Вот поэтому Эйлер и не нашёл ничего более интересного, чем
.
Ксения, теперь давайте Ваше рассуждение. Мне очень любопытно, как Вы сократили перебор.