Помогите, пожалуйста, построить сечение тетраэдра

[Nagare Boshi]

Ребро правильного тетраэдра DABC равно а. Постройте сечение тетраэдра, проходящее через середину ребра DA параллельно плоскости DBC и найдите площадь сечения.
Я построила сечение, вот что получилось:

Не знаю только, правильно или нет.
Площадь нашла, ответ: (a^2*sqrt3)/8

[Tlalok]

У Вас точка K принадлежит ребру DB? Если это так, то Вы не правильно построили сечение. Собственно говоря, в этом случае Ваше построение вообще не сечение.

[Nagare Boshi]

Да, принадлежит. Я так и знала Можете, пожалуйста, объяснить, как сделать правильно сечение?

[Kallikanzarid]

Сечение - это пересечение тетраэдра и некоторой плоскости. В данном случае она полностью определяется тем, что:
1) она параллельна заданной плоскости
2) она проходит через заданную точку.

-- Вс май 08, 2011 10:55:49 --

Площадь сечения находится через подобие треугольников.

[gris]

При построении сечения в геометрической задаче требуется не только его нарисовать, но и строго доказать, что построено именно то, что нужно. Впрочем, это зависит от строгости экзаменатора. Но лучше научиться делать всё максимально дотошно, а потом можно опускать очевидные детали.
Наша задача указать точки пересечения плоскости сечения с рёбрами секомого тела, либо с их продолжениями. Каждый шаг должен сопровождаться упоминанием соответствующих аксиом или теорем.
Я бы вот так строил. Даже без чертежа.
По условию, плоскость сечения параллельна плоскости $DBC$ и проходит через точку $M$ — середину ребра $DA$ тетраэдра $ABCD$. Такая плоскость существует и единственна, так как точка $M$ не принадлежит плоскости $DBC$. (Иначе прямая $AD$, а значит и точка $A$ принадлежит плоскости $DBC$, что противоречит определению тетраэдра, его невырожденности.)
Плоскость сечения пересекается с плоскостью $DBA$ в точке $M$. Плоскость $DBA$ пересекает две параллельные плоскости $DBA$ и $DBC$ и прямые пересечения параллельны по теореме "..." Ну тут можно порезвиться, доказывая очевидные, вроде бы, вещи и применяя теорему Фалеса определить точку $N$, которую Вы и так замечательно построили.
Аналогичные рассуждения применимы и к пересечению плоскости сечения с плоскость грани $DAC$. И точка $K$ находится на ребре $AC$, но никак уж не на $DB$, которое параллельно плоскости сечения.
Впрочем, Ваш треугольник равен искомому, но площадь его Вы нашли неправильно. Ошиблись в два раза. При коэффициенте подобия $k$ площадь изменяется в $k^2$ раз.
Вот же пробило на болтовню с утра

[Kallikanzarid]

gris
А не проще аналитическим методом?

[gris]

Есть и чисто графические, начертательные методы. Но в школьных задачах на сечения главное — продемонстрировать знание стереометрических аксиом и теорем. Их много, они так переплетаются, что школьники часто путаются в них. Конечно, умение ловко жонглировать всеми этими теоремками не особо нужно на практике, но оно развивает логику. Школьник, хорошо ориентирующийся в аксиоматике элементарной геометрии, потом легче освоит ту же топологию или общую алгебру.
Ну и вторая составляющая этих задач — развитие пространственного воображения.

[Kallikanzarid]

Ну хотя бы в духе эрлангенской программы:

Тетраэдр и секущая его плоскость инвариантны относительно действия (дискретной) группы вращений треугольника DBC в себя, следовательно треугольник-сечение - равносторонний. Длина стороны определяется из теоремы о срединной линии, откуда и получаем площадь.

Доказывать это через элементарные аксиомы - это убиться можно

(Оффтоп)

Конечно, понятно, что школа и все такое :)

[Nagare Boshi]

gris, спасибо вам больше, сейчас буду разбираться.
Площадь я находила не по подобию треугольников, а по формуле: S=b*c*sin(A)/2. Нашла еще формулу нахождения равностороннего треугольника: S=a^2*sqrt3/4, но учитель почему-то запретил её использовать, мол вы её для начала докажите...
Ошибку поняла, получилось: a^2*sqrt3/16

[nnosipov]

Nagare Boshi, а Вы положите этот тетраэдр на грань $DBC$, и всё сразу увидите (и как проводить сечение, и чему равна его площадь). Лучше это проделать с моделью тетраэдра (в любом кабинете математики она, как правило, есть).

[Kallikanzarid]

Nagare Boshi
Кстати, говорить "ребро тетраэдра равно $a$" - в корне неверно. Его длина может равняться $a$, но само ребро - объект, отличный от числа.

[Nagare Boshi]

Kallikanzarid
Спасибо, буду знать, хотя в на листе задач написано именно так.
nnosipov, тетраэдра под рукой нет, до кабинета математики далеко, поэтому приложила мысленно. Очень помогло, насколько я поняла, точка К должна находиться на ребре DC, и сторона МК - "невидимая".

[nnosipov]

Nagare Boshi в сообщении #443358 писал(а):

насколько я поняла, точка К должна находиться на ребре DC

Конечно! Причём совершенно понятно, где именно на ребре $AC$ (не $DC$, а $AC$, с моделью было бы намного проще, не зря они есть в кабинетах математики).

[gris]

Мы тащим ТС в разные стороны, но это неплохо. Математика тем и хороша, что существуют различные способы и даже методы решения задач. Для обычного школьника вряд ли стоит заморачиваться теми, которые отличны от преподаваемых в его классе. Ну хочет учитель вот так, так и сделайте ему так. Но если школьник имеет наклонности к математике, ему не полезно замыкаться на одном направлении.
Очень важно представлять себе пространственные задачи в их натуральном виде. Полезно и интересно клеить модели, резать пластилиновые кубики и конусы, находить объёмы реальных ящиков или конических куч песка, расстояния до дерева за рекой и прочее.
Полезно и интересно ковыряться в аксиомах, подробно расписывать доказательства теорем, находить избыточность, тайные связи, альтернативные определения.
Полезно и интересно написать компьютерную программу нахождения площади сечения заданного тетраэдра заданной площадью. Или рисовать сечения п каком-нибудь тридэмаксе. Или в маткаде.
Вредно ничего не делать.

[nnosipov]

Присоединяюсь к этому мнению. Вспомнилась одна задача (разрезать выпуклый четырёхугольник на 4 части, из которых затем сложить параллелограмм), которую очень удобно решать при помощи ножниц. Просто быстрее получается.