Вопрос по двумерным пространствам Римана.

[Munin]

dinaconst в сообщении #426823 писал(а):

Я не математик - вот самое главное препятствие.

Не бывает "математиков" или "не математиков". Бывает знакомство или незнакомство с той или иной конкретной главой математики. Если вы с чем-то незнакомы - это препятствие. Решается оно изучением незнакомой области: чтением учебника, самостоятельным выводом выкладок и теорем, решением задач.

dinaconst в сообщении #426823 писал(а):

Но оказалось, что все, что про них известно, это то, что они пренадлежат четырехмерному риманову пространству. ... И, видимо, их можно (или нет?) приспособить и к четырехмерному случаю?

Риманова геометрия формулируется как теория в произвольном (целом конечном положительном) числе измерений $n.$ Для её основных понятий нет разницы, в какой размерности они существуют. Геодезические, связность, метрика, сходимость, полнота - существуют в любой размерности. О двух измерениях говорят только для того, чтобы наглядно объяснить что-то. (Только в слишком малых размерностях могут возникать упрощения, надо научиться отвлекаться от них.)

П. 1 просто применяется к матрице коэффициентов метрического тензора размерности $n\times n.$ Сам метрический тензор присутствует в формуле метрики в виде
$\displaystyle dl^2=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}g_{ij}dx^idx^j\equiv g_{ij}dx^idx^j$
где вторая запись - это "эйнштейновское соглашение о суммировании", когда просто не пишут знаки суммы, а подразумевают, что они есть для всякого два раза встречающегося индекса. Так что $g_{ij}$ - это матрица, для которой надо проверить положительную определённость. Для этого вы берёте верхние левые углы этой матрицы, размерами $1\times 1,$ $2\times 2,\ldots$ $n\times n.$ И для каждого такого угла считаете определитель. Если все они будут строго больше нуля - матрица положительно определена, если нет - увы.

П. 5 будет ссылаться не на круг, а на $n$-мерный шар.

Всё остальное точно так же.

[dinaconst]

Для Munin и для scwec
Спасибо. Постараюсь все проделать и сообщить о результатах.

[dinaconst]

Очень извиняюсь, что по-напрасну отнимала у всех время.
Выяснилось, что на той "необычной" мировой линии, о которой я писала, любые две точки можно, все-таки, соединить геодезической. Но эти геодезические не сразу обнаружились.
Спасибо за помощь и еще раз прошу извинить.

[scwec]

Для dinaconst
Выступая в качестве "хорошего следователя" по данной теме, задам все же вопрос: " ...а коли так, корнет - Вы женщина?" Не обижайтесь. Спасибо. Было очень приятно с Вами общаться.

[dinaconst]

scwec в сообщении #442675 писал(а):

Для dinaconst
Выступая в качестве "хорошего следователя" по данной теме, задам все же вопрос: " ...а коли так, корнет - Вы женщина?"

Что-то в этом роде .

Цитата:

Не обижайтесь. Спасибо. Было очень приятно с Вами общаться.

Взаимно.

[Munin]

dinaconst в сообщении #442495 писал(а):

Выяснилось, что на той "необычной" мировой линии, о которой я писала, любые две точки можно, все-таки, соединить геодезической. Но эти геодезические не сразу обнаружились.

Бывает. Что ещё раз иллюстрирует, чем чреват "испорченный телефон". Рад, что всё образовалось.