Операции со счётными множествами.

[Delvistar]

Две задачи с одной сутью их решения. Какая же суть?

Задача №1. Государство $X$, берёт взаймы у своих граждан $x$, с обязательством полного возвращения займа.
Произведя операции взятия взаймы $R_{n}$ у граждан $x_{n}$, государство у каждого человека берёт 10 рублей, записывая как $O_{n}$ и с них 1 рубль кладёт в статью погашения взайма $A_{n}$, а 9 рублей в статью доходы $Q_{n}$.
Производится бесконечное множество $R_{n}$.
По мере наполнения $A_{n}$, происходит возвращение займа.
Так после того как $x_{10}$ дал взаймы, $x_{1}$ получил свои деньги обратно.
Так мы видим, каждый человек получит деньги обратно (пусть и не он но потомки). И видим что сумма $Q_{n}$ бесконечно возрастает.

Вопрос: Все ли $x_{n}$, получат деньги обратно? Если не все, то какой первый номер, $x_{n}$, человека не получившего деньги обратно(имеется ввиду и нет таких шансов и у потомков)

Примечание: В этих задачах скрыта суть, как кажется, всех финансовых пирамид и МММ в частности.

Задача №2. Черепаха (условность, отражающея медленность) и свет(условность отражающея быстроту), начали путь в 00.00 01.01.2001 года, от точки А.

Скорость света - условно 1000 у.е.
Скорость черепахи – условно 0,0001 у.е.

Через час, путь света был длиннее на величину D. С каждым часом эта величина увеличивается и имеет предел плюс-бесконечности.

Путь, пройденный черепахой и светом бесконечен.

С другой стороны, мы можем найти точку в пути, и просчитать что она будет пройдена и черепахой. И сделать вывод о взаимно-однозначном соответствии длины пути света и черепахой.

Вопрос: Если D имеет бесконечный предел, то какой первый номер километра, этой величины?

Общий вопрос: Каким образом в современной математике, разрешаются подобного рода задачи?


Примечание: если, задачи представлены не совсем корректно, то прошу не ругать за невежество, а представить корректную форму этих задач.

[r-aax]

В Вашей пирамиде для того, чтобы каждый человек получил свои деньги обратно (или даже с прибылью), нужно, чтобы и количество людей было бесконечно. Если предположить, что человечество будет существовать вечно, то это можно принять. Но я не хочу вкладывать деньги в организацию, которая гарантированно мне их вернет черех миллиард лет.

[Delvistar]

(Оффтоп)

Принцип МММ тот же, правда там не такое соотношение $\frac{1}{10}$, поэтому наверное и легко можно было обманывать людей. Так как видно, что легко видно просчитывание возвращённость средств. Но отдача не за счёт прибыли банка, а за счёт новых займов.

Но, если всё же допустить бесконечное множество людей, то все ли получат, и если не все, то какой первый номер из тех кто не получит. И как же быть с движением черепахи и света?

[arseniiv]

Все получат.

С движением черепахи и света вообще ничего особенного нет. Да, есть соответствие, притом вообще очнеь просто строящееся — друг другу соответствуют точки, в которых черепаха и свет находятся в одинаковый момент времени. Неограниченное увеличение $D$ этому никак не противоречит. В чём именно у вас загвоздка?

(Оффтоп)

Я уже, видимо, настолько привык к математике, что не понимаю, что парадоксального можно увидеть в бесконечных множествах.

[Delvistar]

Что парадоксального? Пожалуйста!

Общая сумма взятая в долг $O_{n}$, погашение долга шло за счёт подмножества $A_{n}$, а другое подмножество $Q_{n}$ реальное, и оно есть.
Так тогда, назовите пожалуйста первый номер из счётного подмножества $Q_{n}$, так как мы видим, что подмножество $A_{n}$, расположено вначале от 0 в множестве $O_{n}$ .

Далее, мы отмечаем что общее счётное множество людей давших взаймы как $x_{n}$. Мы видим, что из каждых 10, 1 человек получает долг обратно(отметим как подмножество $y_{n}$. Разница 9, и отметим как подмножество $u_{n}$. И эта разница(подмножество $u_{n}$) имеет пределом плюс бесконечность. Так какой номер у первого члена подмножества $u_{n}$?

То что все счётные подмножества в счётном множестве равномощны, это известно уже как дважды два. Вопрос в другом. Назвать первый номер банкноты которая в банке не будет потрачена и оставлена в виде дохода.

Вы же не будете отрицать то что эти деньги реальны?

[arseniiv]

Не, мне про деньги не нравится. Вы слишком много обозначений сделали, у меня глаза путаются. А про черепаху лучше не расскажете?

-- Пт май 06, 2011 19:13:18 --

(Мне вообще не знаю с чего кажется, что вы чего-то недоопределили, и потому вольности получаются.)

[Delvistar]

У нас имеется счётное множество$O_{n}$, состоящее из двух счётных подмножеств $A_{n}, Q_{n}$. Если производить нумерацию натуральными числами все элементы множества, начиная с нумерации подмножества $A_{n}$, то какой номер получит первый элемент подмножества$Q_{n}$?

Или Вы считаете если считать подобным образом, то первый элемент подмножества $Q_{n}$, не получит номера, так как они все уйдут на нумерацию первого подмножества?

(Оффтоп)

И я спрашиваю. Я не проверяю, задавая вопрос, как кто знает математику. Я не знаю ответ.

[arseniiv]

Я так и не понял, из каких элементов эти множества состоят.

[Виктор Викторов]

Delvistar! Это есть в любом учебнике. Занумеруйте одно из множеств нечетными натуральными числами, а второе -- чётными. arseniiv верно подметил, что и задача поставлена слегка некорректно. Вы имеете в виду множество, содержащее элементы как первого, так и второго подмножеств. А Ваш вопрос можно (и нужно!) понять как множество содержащее два элемента.

[Delvistar]

(Оффтоп)

Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества или точками множества.

Просто поймите пожалуйста, я хочу понять не конечные множества, а счётные.

Если у нас имеется счётное множество, содержащее два счётных подмножества. Пусть это будут чётные и не чётные натуральные числа. В натуральном ряду чисел мы их можем пронумеровать натуральными числами:

$1_{1},2_{2},3_{3},4_{4}...\infty$.

Можем пронумеровать отдельно чётные и не четные натуральные числа:

$1_{1},2_{1},3_{2},4_{2}...\infty$.

Но если мы желаем поставить номера не чётным числам, а потом чётным, то какой номер будет у первого чётного натурального числа 2?

Как я понимаю, это будет $\omega + 1$. Или же я ошибаюсь? И насколько я понимаю здесь речь идёт об упорядочных множествах?

[Виктор Викторов]

Delvistar [quote="Delvistar в сообщении #442762 писал(а):

$1_{1},2_{2},3_{3},4_{4}...\infty$. $1_{1},2_{1},3_{2},4_{2}...\infty$.

$\left\{1_{11},1_{12},2_{23},2_{14}\cdots +\infty\right\}$ Я поставил элементы "через один" и придал им второй индекс.

[arseniiv]

Delvistar в сообщении #442762 писал(а):

Как я понимаю, это будет $\omega + 1$.

Да, вроде бы именно он.

Кстати, никто не посоветует почитать мне что-нибудь про ординалы?

[Delvistar]

Тогда и первый элемент подмножества $Q_{n}$ будет иметь номер $\omega + 1$, и соответственно первый номер километра из подмножества $D$ пройденного светом, будет так же $\omega + 1$ ?

Но если это так, то тогда номер первого человека который не получит долг обратно также будет такой же $\omega + 1$ ?

[Виктор Викторов]

Delvistar в сообщении #442762 писал(а):

Если у нас имеется счётное множество, содержащее два счётных подмножества. Пусть это будут чётные и не чётные натуральные числа. В натуральном ряду чисел мы их можем пронумеровать натуральными числами:

$1_{1},2_{2},3_{3},4_{4}...\infty$.

Можем пронумеровать отдельно чётные и не четные натуральные числа:

$1_{1},2_{1},3_{2},4_{2}...\infty$.

Но если мы желаем поставить номера не чётным числам, а потом чётным, то какой номер будет у первого чётного натурального числа 2?

Как я понимаю, это будет $\omega + 1$. Или же я ошибаюсь? И насколько я понимаю здесь речь идёт об упорядочных множествах?

arseniiv в сообщении #442774 писал(а):

Delvistar в сообщении #442762 писал(а):

Как я понимаю, это будет $\omega + 1$.

Да, вроде бы именно он.

$\left\{1, 3, 5, 7, \cdots, 2, 4, 6, 8\cdots \right\}$ Вы имеете в виду такой порядок? Это $\omega + \omega $, а $\left\{1, 3, 5, 7, \cdots, 2\right\}$ это ординал $\omega + 1$
Посмотрите в книге П. С. Александров «Введение в теорию множеств и общую топологию».

[Delvistar]

Я имел ввиду вот это $\{1,2,3,4....+\infty,2\}$ $\omega + 1$.

А теперь вернёмся к задаче про займ.

Выделим 10 операций взятия займа. Мы видим, 10 человек (множество $x_{n}$) выделило займ на общею сумму 100 рублей(множество $O_{n}$).
1 человек (подмножество $y_{n}$ множества $x_{n}$) получил свой займ 10 рублей (подмножество $A_{n}$ множества $O_{n}$).
9 человек ((подмножество $u_{n}$ множества $x_{n}$) не получило займ обратно.

Теперь мы можем взять любое конечное множество операций $|{10,100,1000,...$ и везде мы видим наличие подмножества $u_{n}$, которое безгранично увеличивается, и его соотношение с подмножеством $y_{n}$ не меняется.

Теперь производим не конечное, а бесконечное множество операций. Теперь уже мы видим, что соотношение подмножеств получают равномощность. Но, самое главное - это то что подмножество $u_{n}$ не исчезло. И если мы в множестве людей давших займ $x_{n}$,
мы вначале располагаем (то есть учитываем операции с ними) подмножество $y_{n}$, то подмножество $u_{n}$, никуда не исчезло, и первый человек который не получит долг будет иметь номер $\omega + 1$.

Вот что я хотел спросить, и узнать правильно ли совершено решение.