Канонический вид кривая второго порядка

[shur]

При повороте получился ужасный тангенс(

$x^2+3xy-3y^2+7x-14=0$

Дважды пересчитывал, результат совпал...

$\tg \alpha=\dfrac{1}{3}(4\pm\sqrt{7})$

Нужно именно этим способом делать и именно сначала поворот...( как быть? Если выразить синус и косинус через полученный тангенс и подставить вогромное уравнение --- будет ужас (даже несмотря на то, что коэффициент перед $x_1y_1$ будет равен нулю..)

[gris]

Посчитайте ещё раз. Мне видится там не 16-9, а 16+9.

[Kallikanzarid]

Проще выделить полный квадрат.

[bot]

А кому он нужен этот тангенс? Если Вы хотите только классифицировать кривую, то после выделения полных квадратов или нахождения собственных чисел сразу всё ясно, а если Вам нужно её нарисовать, то Вам нужны собственные векторы, после нахождения которых новые оси рисуются без всяких тангенсов (которые могут быть плохими даже при хороших собственных векторах).
ЗЫ. Кстати этот несимпатичный тангенс получается не тот, что у Вас.

[ИСН]

Клиент мог бы сказать:
"Я не хочу классифицировать. Я не хочу рисовать. Я ничего не хочу. Но велено привести к каноническому виду."
Вот ему-то и нужен, увы, тангенс.

[ewert]

bot в сообщении #442571 писал(а):

Кстати этот несимпатичный тангенс получается не тот, что у Вас.

А тот, что получается -- симпатичный:

gris в сообщении #442533 писал(а):

Мне видится там не 16-9, а 16+9.

[shur]

gris в сообщении #442533 писал(а):

Посчитайте ещё раз. Мне видится там не 16-9, а 16+9.

Спасибо, но не помню, чтобы там были числа 16 и 9...

-- Пт май 06, 2011 15:20:16 --

У меня получилось уравнение на тангенс.

$8\tg\alpha=-\dfrac{3}{\cos^2\alpha}$

$8\tg\alpha=-3(1+\tg^2\alpha)$

$3\tg^2\alha+8\tg\alpha+3=0$

$\tg\alpha=-\dfrac{1}{3}(4\pm\sqrt{7})$

Возьмем $+$

$\sin\alpha=\dfrac{\frac{1}{3}(4+\sqrt{7})}{\sqrt{1+\frac{1}{9}(4+\sqrt{7})^2}}}=\dfrac{4+\sqrt{7}}{\sqrt{32+2\sqrt{7}}}$

???

Там действительно все так ужасно получается или можно проще сделать (сделать поворот).
Есть арифметические ошибки? Если есть, то я вечером не поленюсь все решение поэтапно написать сюда!

(Оффтоп)

Единственное, что я переписывании на форум знак один перепутал)

[arseniiv]

(Оффтоп)

Злоупотребление средствами выделения текста вредит тексту.

[VAL]

ewert в сообщении #442583 писал(а):

bot в сообщении #442571 писал(а):

Кстати этот несимпатичный тангенс получается не тот, что у Вас.

А тот, что получается -- симпатичный:

Угу. И синус с косинусом вполне приличные. А значит, и формулы поворота.

[gris]

Уравнение на тангенс неправильное. Откуда там взялся косинус в квадрате? Выразите тангенс двойного угла через тангенс. Вы ошибочно приняли, что в знаменателе у Вас сумма единицы и тангенса в квадрате, а это не так.
И получается, что дискриминант квадратного уравнения равен не 16-9=7, а 16+9=25. (ну или с умножением всего дела на 4).

[shur]

Спасибо, gris! Сейчас сделаю тогда еще раз, чтобы понять о чем вы говорите...
Постарался оформить, чтобы читабельнее было

$$x^2+3xy-3y^2+7x-14=0$$

$$\begin{cases} x=x_1\cos\phi-y_1\sin\phi \\ y=x_1\sin\phi+y_1\cos\phi \\ \end{cases}$$

$$(x_1\cos\phi-y_1\sin\phi)^2+3(x_1\cos\phi-y_1\sin\phi)(x_1\sin\phi+y_1\cos\phi )-3(x_1\sin\phi+y_1\cos\phi )^2+7(x_1\cos\phi-y_1\sin\phi)-14=0$$

$$x_1^2\cos^2\phi-2x_1y_1\cos\phi\sin\phi+y_1^2\sin^2\phi+3(x_1^2\cos\phi\sin\phi-y_1^2\cos\phi\sin\phi+x_1y_1\cos^2\phi-x_1y_1\sin^2\phi)-$$

$$-3(x_1^2\sin^2\phi+2x_1y_1\cos\phi\sin\phi+y_1^2\sin\phi)+7x_1\cos\phi-7y_1\sin\phi-14=0$$

Раскрываем скобки...

$$x_1^2\cos^2\phi-2x_1y_1\cos\phi\sin\phi+y_1^2\sin^2\phi+3x_1^2\cos\phi\sin\phi-3y_1^2\cos\phi\sin\phi+3x_1y_1\cos^2\phi-3x_1y_1\sin^2\phi-$$

$$-3x_1^2\sin^2\phi-6x_1y_1\cos\phi\sin\phi-3y_1^2\sin\phi+7x_1\cos\phi-7y_1\sin\phi-14=0$$

Группируем и делаем красивее...

$$(\cos^2\phi+3\cos\phi\sin\phi-3\sin^2\phi)x_1^2+(\sin^2\phi-3\cos\phi\sin\phi-3\sin^2\phi)y_1^2+$$

$$+(-2\cos\phi\sin\phi+3\cos^2\phi-3\sin^2\phi-6\cos\phi\sin\phi)x_1y_1+$$

$$+7x_1\cos\phi-7y_1\sin\phi-14=0$$

Приравниваем коэффициент перед $x_1y_1$ к нулю

$$-2\cos\phi\sin\phi+3\cos^2\phi-3\sin^2\phi-6\cos\phi\sin\phi=0$$

Делим на $\cos^2\phi$ обе части.

$$-2\tg\phi+3\tg^2\phi-6\tg\phi=0$$

Замена

$$\tg\phi=z$$

$$3z^2-8z=0$$

$$z(3z-8)=0$$

Значит $z=0$ или $z=\dfrac{8}{3}$

Значит $\tg\phi=0$ или $\tg\phi=\dfrac{8}{3}$

Поворот на $\pi$ нас не интересует, поэтому выбираем $\tg\phi=\dfrac{8}{3}$

Правильно ли?
Дейсвительно получилось по-другому

[gris]

Вы решили не пользоваться готовыми формулами, а поворачивать кривую своими руками? Очень хорошо. И почти всё правильно, только вот после деления на $\cos^2\varphi$ куда-то подевалась тройка.

[svv]

shur, Вы молодец, проделали большую работу. Но немного жаль, что делали это для конкретных коэффициентов, а не для общей формы $ax^2+2b\,xy+cy^2+...$
Сложность не большая, а результатом можно было бы пользоваться много-много раз.

[shur]

gris в сообщении #442776 писал(а):

Вы решили не пользоваться готовыми формулами, а поворачивать кривую своими руками? Очень хорошо. И почти всё правильно, только вот после деления на $\cos^2\varphi$ куда-то подевалась тройка.

Не знал, что есть готовые формулы=) А где их можно найти?!
Спасибо, что прочитали такое длинное сообщение)

-- Пт май 06, 2011 22:32:42 --

svv в сообщении #442821 писал(а):

shur, Вы молодец, проделали большую работу. Но немного жаль, что делали это для конкретных коэффициентов, а не для общей формы $ax^2+2b\,xy+cy^2+...$
Сложность не большая, а результатом можно было бы пользоваться много-много раз.

Кстати, да для общей формы почти тоже самое можно сделать) Спасибо!

-- Пт май 06, 2011 22:54:07 --

$-2\cos\phi\sin\phi+3\cos^2\phi-3\sin^2\phi-6\cos\phi\sin\phi=0$

Делим на $\cos^2\phi$ обе части.

$-2\tg\phi+3-3\tg^2\phi-6\tg\phi=0$

Замена $\tg\phi=z$

$-3z^2-8z+3=0$

$z_1=-3$;$z_2=\dfrac{1}{3}$

Далее выбираем из корней положительный для определенности, тогда

$\tg\phi=\dfrac{1}{3}$

$\sin\alpha=\dfrac{\frac{1}{3}}{\sqrt{1+\frac{1}{9}}}=\dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{10}}{3}}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$

$\cos\alpha=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$

$$(\dfrac{9}{10}+3\dfrac{3}{10}-3\dfrac{1}{10})x_1^2+(\dfrac{1}{10}-3\dfrac{3}{10}-3\dfrac{1}{10})y_1^2+$$

$$+7\dfrac{3}{\sqrt{10}}x_1-7\dfrac{1}{\sqrt{10}}y_1-14=0$$

-- Пт май 06, 2011 23:02:39 --

$1,5x_1^2-1,1y_1^2+2,1\sqrt{10}x_1-0,7\sqrt{10}y_1-14=0$

$15x_1^2-11y_1^2+21\sqrt{10}x_1-7\sqrt{10}y_1-140=0$

[bot]

Впечатлился объёмом проделанных выкладок ...
При повороте соотношение коэффициентов при квадратах будет не таким как у Вас.

А что Вы будете делать с тангенсами, чтобы не кривую, а поверхность второго порядка к каноническому виду привести?