Канонический вид кривая второго порядка

[Алексей К.]

Я читал с этого места:

shur в сообщении #446100 писал(а):

Это уже про другую задачу

У меня еще возник вопрос про поворот, но с помощью собственных чисел.
А если преобразующая матрица получилась такая

$$S=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0&-\frac{1}{\sqrt 2}&\frac{1}{\sqrt 2}\\ 0 & \frac{1}{\sqrt 2}&\frac{1}{\sqrt 2}\\ \end{pmatrix}$$

Определитель будет равен $-1$, а значит нужно поменять столбцы местами

И как бы "другая задача" для меня осталась несформулированной.
Соответственно, "значит нужно поменять..." осталось непонятым/недообоснованным.
Процитированная матрица похожа на матрицу преобразования "поворот+зеркальное_отражение".

[shur]

Вот собственные вектора
$v_1=(1;0;0)^T$

$v_2=(0;-\frac{1}{\sqrt 2};\frac{1}{\sqrt 2})^T$

$v_3=(0;\frac{1}{\sqrt 2};\frac{1}{\sqrt 2})^T$

Из них состоит $S$. Так как мы можем поменять местами второй и третий столбец (ввиду того, что какой из собственных векторов -- первый --- чистая условность). Тогда у нас определитель поменяет знак и станет равным $1$, вот это я имел ввиду!

[svv]

Если $v$ -- собственный вектор, то $-v$ также собственный вектор, и Вы с чистой совестью можете использовать его вместо (или "в качестве") первоначального. Когда Вы находили собственный вектор, решая однородную систему уравнений, у Вас ведь был произвол в выборе множителя, помните?

Так вот и умножьте $v_2$ на $-1$. Эта перемена изменит знак определителя матрицы, составленной из собственных векторов, и это будет хорошо.

То, что это приходится делать, означает, что знак(и) был(и) выбран(ы) неудачно.

[shur]

svv в сообщении #446181 писал(а):

Если $v$ -- собственный вектор, то $-v$ также собственный вектор, и Вы с чистой совестью можете использовать его вместо (или "в качестве") первоначального. Когда Вы находили собственный вектор, решая однородную систему уравнений, у Вас ведь был произвол в выборе множителя, помните?

Так вот и умножьте $v_2$ на $-1$. Эта перемена изменит знак определителя матрицы, составленной из собственных векторов, и это будет хорошо.

То, что это приходится делать, означает, что знак(и) был(и) выбран(ы) неудачно.

Да, точно, так будет проще, спасибо!