теория Галуа и теория чисел

[VAL]

nnosipov в сообщении #441803 писал(а):

VAL в сообщении #441757 писал(а):

nnosipov в сообщении #441710 писал(а):

Максимальное подполе, не содержащее $\sqrt 2$ --- что за зверь такой?

Подполя $\overline{\mathbb Q}$, не содержащие $\sqrt 2$, образуют частично упорядоченное множество по включению, в котором по лемме Цорна такой зверь, вроде, обязан водиться.

Надо полагать, таких максимальных подполей много. Или оно однозначно определено?

Полагаю, это как считать. В принципе, можно считать, что алгебраических замыканий поля ${\mathbb Q}$ много. Но они все изоморфны. Мне представляется, что в пределах фиксированного алгебраического замыкания поля ${\mathbb Q}$ одсуждаемое поле будет одно.

[nnosipov]

VAL в сообщении #442060 писал(а):

Полагаю, это как считать. В принципе, можно считать, что алгебраических замыканий поля ${\mathbb Q}$ много. Но они все изоморфны. Мне представляется, что в пределах фиксированного алгебраического замыкания поля ${\mathbb Q}$ одсуждаемое поле будет одно.

Давайте считать, что алгебраическое замыкание поля рациональных чисел --- это поле $\mathbb{A}$ всех алгебраических (над $\mathbb{Q}$) чисел. Не могли бы Вы как-то описать этого монстра (т.е. максимальное подполе $\mathbb{A}$, не содержащее $\sqrt{2}$)? Что в нём содержится, чего в нём нет, помимо $\sqrt{2}$? (И, пардон за глупый вопрос, почему в нём нет $\sqrt{2}$?)

[Joker_vD]

nnosipov в сообщении #442330 писал(а):

Не могли бы Вы как-то описать этого монстра (т.е. максимальное подполе $\mathbb A$, не содержащее $\sqrt2$)?

Для этого VAL придется извернуться и обойтись без леммы Цорна.

nnosipov в сообщении #442330 писал(а):

И, пардон за глупый вопрос, почему в нём нет $\sqrt2$?

Почему? По построению.

[VAL]

nnosipov в сообщении #442330 писал(а):

Давайте считать, что алгебраическое замыкание поля рациональных чисел --- это поле $\mathbb{A}$ всех алгебраических (над $\mathbb{Q}$) чисел. Не могли бы Вы как-то описать этого монстра (т.е. максимальное подполе $\mathbb{A}$, не содержащее $\sqrt{2}$)? Что в нём содержится, чего в нём нет, помимо $\sqrt{2}$?

Ну, например, $^3\sqrt 2$ есть, а $\sqrt 6$ и $^4\sqrt 2$ нет...
Ну и так далее :)

Цитата:

(И, пардон за глупый вопрос, почему в нём нет $\sqrt{2}$?)

Вы сомневаетесь в наличии алгебраических расширений $\mathbb Q$, не содержащих $\sqrt 2$?! Надеюсь, нет. А дальше лемма Цорна.

[nnosipov]

Господа, не сочтите за труд и объясните подробно, как строится этот монстр. Лучше бы без леммы Цорна, если это возможно. Разумеется, я понимаю, что хватает алгебраических расширений $\mathbb{Q}$, не содержащих $\sqrt{2}$. Например, $\mathbb{Q}(\sqrt{6})$. Но, как пишет VAL, $\sqrt{6}$ не входит в монстра. Почему? (Слава богу, с леммой Цорна я сталкивался только в годы учёбы: базис Гамеля, теорема Хана-Банаха --- это весь набор знакомых мне фактов, где она применяется.)

[Joker_vD]

nnosipov в сообщении #442390 писал(а):

объясните подробно, как строится этот монстр.

Честно говоря, я сомневаюсь, что есть явная конструкция. В принципе, можно попробовать видоизменить артиновскую конструкцию алгебраического замыкания поля, но не знаю...

nnosipov в сообщении #442390 писал(а):

Но, как пишет VAL, $\sqrt6$ не входит в монстра. Почему?

Ну, в этого монстра входит $\sqrt3$. А имея в поле $\sqrt6$ и $\sqrt3$, легко можно получить $\sqrt2$ — а его мы получать никак не должны.

nnosipov в сообщении #442390 писал(а):

базис Гамеля, теорема Хана-Банаха --- это весь набор знакомых мне фактов, где она применяется.

А еще лемму Цорна использует, например, факт "всякий собственный идеал содержится в некотором максимальном".

[nnosipov]

А чем это $\sqrt{3}$ лучше $\sqrt{6}$ (т.е. первый есть в монстре, а второго нет)?

[VAL]

nnosipov в сообщении #442400 писал(а):

А чем это $\sqrt{3}$ лучше $\sqrt{6}$ (т.е. первый есть в монстре, а второго нет)?

Пусть в расширении $K$ нет $\sqrt 3$ (и $\sqrt 6$). Тогда оно не максимально, поскольку строго содержится в $K(\sqrt 3)$, по-прежнему, не содержащем $\sqrt 2$.
С другой стороны, если пока нет ни $\sqrt 3$, ни $\sqrt 6$, можно добавить $\sqrt 6$, не добавляя $\sqrt 3$.
Так что, возможно, Вы правы в том, что максимальное расширение, не содержащее $\sqrt 2$, не единственно.
Хотя... второй вариант мне как-то меньше нравится. Тогда из $\sqrt 5$ и $\sqrt{15}$, хотя бы один элемент должен отсутствовать. И пошло, поехало...

[nnosipov]

VAL в сообщении #442440 писал(а):

nnosipov в сообщении #442400 писал(а):

А чем это $\sqrt{3}$ лучше $\sqrt{6}$ (т.е. первый есть в монстре, а второго нет)?

Пусть в расширении $K$ нет $\sqrt 3$ (и $\sqrt 6$). Тогда оно не максимально, поскольку строго содержится в $K(\sqrt 3)$, по-прежнему, не содержащем $\sqrt 2$.
С другой стороны, если пока нет ни $\sqrt 3$, ни $\sqrt 6$, можно добавить $\sqrt 6$, не добавляя $\sqrt 3$.
Так что, возможно, Вы правы в том, что максимальное расширение, не содержащее $\sqrt 2$, не единственно.
Хотя... второй вариант мне как-то меньше нравится. Тогда из $\sqrt 5$ и $\sqrt{15}$, хотя бы один элемент должен отсутствовать. И пошло, поехало...

И восстали монстры ...