2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Кинематика точки
Сообщение26.04.2011, 20:03 


26/04/11
40
Добрый Вечер!
Помогите Пожалуйста решить задачу:
Точка движется в плоскости xy с постоянной по модулю скоростью |v| = u. Вектор скорости образует с осью Ox угол $\alpha = at $(а - постоянная величина). Определить уравнение траектории точки и модуль её ускорения, если в начальный момент t = 0 точка находилась в начале координат.
Мне кажется: что если дан угол, то можно найти проекции на оси... Скорость постоянная, значит можно найти ускорение: производная по скорости...

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика точки
Сообщение26.04.2011, 20:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
Обратите внимание, что угол постоянно меняется. Скорость постоянна по модулю, но не по направлению. Так что ускорение будет не равно нулю. Наверно, самое простое разложить всё по коодинатам и получить несложное дифференциальное уравнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика точки
Сообщение26.04.2011, 21:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Думаю, гораздо проще не писать дифференциальное уравнение, а записать алгебраическое в пространстве скоростей, решить и проинтегрировать. Задача геометрическая школьного уровня.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика точки
Сообщение03.05.2011, 07:01 


26/04/11
40
gris
$V_x = ucos(at)$
$V_y = usin(at)$
$a_x = V_x ' = -ausin(at)$
$a_y = V_y ' = aucos(at)$
$a = \sqrt[]{(V_x)^2 + (V_y)^2 } $
Так? А как отсюда найти уравнение траектории?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика точки
Сообщение03.05.2011, 08:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
Не знаю, подойдёт ли такое рассуждение: при равномерном движении по окружности угол между скоростью и направлением также меняется равномерно, то есть как в условии. Остаётся подобрать радиус и положение окружности так, чтобы она проходила через начальную точку, вектор скорости образовывал нужный угол и менялся в нужном направлении. В силу единственности решения, это и будет единственным решением.
В нашем случае подходит окружность, касающаяся оси абсцисс (сверху или снизу, в зависимости от знака $a$) в начале координат радиуса R, который легко найти.
Впрочем, Вы фактически написали два уравнения
$x'=u\cos at$
$y'=u\sin at$, которые совершенно легко интегрируются. Константы находятся подстановкой начальных условий.
$\{(x(t);y(t))\}$ и будет траекторией.
Решение зависит от того, школьная задача или по какому-то предмету.
Нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика точки
Сообщение03.05.2011, 14:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Merhaba в сообщении #441153 писал(а):
Так?

Осторожнее: в последней строчке вы использовали ту же букву $a$ для обозначения другой величины. Лучше обозначьте ускорение, например, $w,$ раз $a$ в условиях уже задействована.

gris в сообщении #441162 писал(а):
Не знаю, подойдёт ли такое рассуждение

Наверняка именно оно и подразумевалось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика точки
Сообщение03.05.2011, 18:13 


26/04/11
40
Munin

$V_x = ucos(wt)$
$V_y = usin(wt)$
$a_x = V_x ' = -wusin(wt)$
$a_y = V_y ' = wucos(wt)$
$a = \sqrt[]{(a_x)^2 + (a_y)^2 } $
$x(t) = usin(wt)/w$
$y(t) = -ucos(wt)/w$
теперь так?
Как можно исключить параметр и получить уравнение траектории?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика точки
Сообщение03.05.2011, 21:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Выразите параметр $t$ через $x,$ и подставьте это выражение в $y.$ Внимание, не потеряйте корней, это здесь важно. Но вообще, такую траекторию можно карандашом на бумаге нарисовать за пять минут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика точки
Сообщение03.05.2011, 21:21 


26/04/11
40
Munin
Правильно ли я нашёл скорость и ускорение?
А константы тут будут нулевые в обоих случаях?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика точки
Сообщение03.05.2011, 21:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Константы находятся из условия "в начальный момент t = 0 точка находилась в начале координат".

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика точки
Сообщение06.05.2011, 09:50 


26/04/11
40
Munin
ну а рассуджения у меня правильные, не учитывая, что константу неправильно нашёл?
Я сначала спроектировал на оси, продеффиринцировал - нашёл ускорения по осям. (ускорение - корень квадратный, из суммы квадратов). Проинтегрировал проекции скорости на оси и получил траекторию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика точки
Сообщение06.05.2011, 11:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Да, всё правильно, только до ответа не доведено. Что за траектория-то? Словами описать можете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика точки
Сообщение06.05.2011, 19:02 


26/04/11
40
Munin
к сожалению, я затрудняюсь исключить из закона движения..
Помогите Пожалуйста!

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика точки
Сообщение06.05.2011, 20:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Вы знаете, что такое синус?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кинематика точки
Сообщение06.05.2011, 21:01 


26/04/11
40
Munin
Отношение противолежащего катета к гипотенузе)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, profrotter, Парджеттер, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group