Кинематика точки

[Merhaba]

Добрый Вечер!
Помогите Пожалуйста решить задачу:
Точка движется в плоскости xy с постоянной по модулю скоростью |v| = u. Вектор скорости образует с осью Ox угол $\alpha = at $(а - постоянная величина). Определить уравнение траектории точки и модуль её ускорения, если в начальный момент t = 0 точка находилась в начале координат.
Мне кажется: что если дан угол, то можно найти проекции на оси... Скорость постоянная, значит можно найти ускорение: производная по скорости...

[gris]

Обратите внимание, что угол постоянно меняется. Скорость постоянна по модулю, но не по направлению. Так что ускорение будет не равно нулю. Наверно, самое простое разложить всё по коодинатам и получить несложное дифференциальное уравнение.

[Munin]

Думаю, гораздо проще не писать дифференциальное уравнение, а записать алгебраическое в пространстве скоростей, решить и проинтегрировать. Задача геометрическая школьного уровня.

[Merhaba]

gris
$V_x = ucos(at)$
$V_y = usin(at)$
$a_x = V_x ' = -ausin(at)$
$a_y = V_y ' = aucos(at)$
$a = \sqrt[]{(V_x)^2 + (V_y)^2 } $
Так? А как отсюда найти уравнение траектории?

[gris]

Не знаю, подойдёт ли такое рассуждение: при равномерном движении по окружности угол между скоростью и направлением также меняется равномерно, то есть как в условии. Остаётся подобрать радиус и положение окружности так, чтобы она проходила через начальную точку, вектор скорости образовывал нужный угол и менялся в нужном направлении. В силу единственности решения, это и будет единственным решением.
В нашем случае подходит окружность, касающаяся оси абсцисс (сверху или снизу, в зависимости от знака $a$) в начале координат радиуса R, который легко найти.
Впрочем, Вы фактически написали два уравнения
$x'=u\cos at$
$y'=u\sin at$, которые совершенно легко интегрируются. Константы находятся подстановкой начальных условий.
$\{(x(t);y(t))\}$ и будет траекторией.
Решение зависит от того, школьная задача или по какому-то предмету.
Нет?

[Munin]

Merhaba в сообщении #441153 писал(а):

Так?

Осторожнее: в последней строчке вы использовали ту же букву $a$ для обозначения другой величины. Лучше обозначьте ускорение, например, $w,$ раз $a$ в условиях уже задействована.

gris в сообщении #441162 писал(а):

Не знаю, подойдёт ли такое рассуждение

Наверняка именно оно и подразумевалось.

[Merhaba]

Munin

$V_x = ucos(wt)$
$V_y = usin(wt)$
$a_x = V_x ' = -wusin(wt)$
$a_y = V_y ' = wucos(wt)$
$a = \sqrt[]{(a_x)^2 + (a_y)^2 } $
$x(t) = usin(wt)/w$
$y(t) = -ucos(wt)/w$
теперь так?
Как можно исключить параметр и получить уравнение траектории?

[Munin]

Выразите параметр $t$ через $x,$ и подставьте это выражение в $y.$ Внимание, не потеряйте корней, это здесь важно. Но вообще, такую траекторию можно карандашом на бумаге нарисовать за пять минут.

[Merhaba]

Munin
Правильно ли я нашёл скорость и ускорение?
А константы тут будут нулевые в обоих случаях?

[Munin]

Константы находятся из условия "в начальный момент t = 0 точка находилась в начале координат".

[Merhaba]

Munin
ну а рассуджения у меня правильные, не учитывая, что константу неправильно нашёл?
Я сначала спроектировал на оси, продеффиринцировал - нашёл ускорения по осям. (ускорение - корень квадратный, из суммы квадратов). Проинтегрировал проекции скорости на оси и получил траекторию.

[Munin]

Да, всё правильно, только до ответа не доведено. Что за траектория-то? Словами описать можете?

[Merhaba]

Munin
к сожалению, я затрудняюсь исключить из закона движения..
Помогите Пожалуйста!

[Munin]

Вы знаете, что такое синус?

[Merhaba]

Munin
Отношение противолежащего катета к гипотенузе)