Задачки по аффинным пространствам

[caxap]

1. Какова наименьшая размерность пространства, в котором существуют скрещивающиеся двумерные плоскости. (Скрещивающиеся -- это такие, которые не пересекаются и их направляющие подпространства пересекаются только по нулевому вектору.)

(Мысль вслух)

Интуитивно кажется, что 5. В 4-мернном пространстве две 2-плоскости могут пересекаться по точке. Чтобы сделать их скрещивающимся, надо их раздвинуть (как две прямые в 3-мерном пространстве), но в 4-х измерениях раздвигать некуда. Тогда 5.

Но я совершенно не представляю, как это можно строго оформить. А возможно это вообще не верно. Поэтому буду решать через СЛАУ.

Возьмём $m$-мерное пространство. 2-плоскости в нём задаются неоднородной СЛАУ из $m-2$ независимых уравнений и $m$ неизвестных. Две плоскости скрещиваются если 1) они не пересекаются, 2) направляющие подпространства пересекаются только в нуле. Переведём на язык СЛАУ

1) $\Rightarrow$ СЛАУ не имеют общих решений $\Rightarrow$ объединённая СЛАУ несовместна $\Rightarrow$ (т. Крон.--Кап.) ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы коэффициентов (т. е. последний $<m$ по-любому).
2) Если плоскость задаётся СЛАУ $Ax=b$, то направляющее подпространство $Ax=0$. Второе условие значит, что у двух СЛАУ только одно общее решение (нулевое) $\Rightarrow$ объединённая однородная СЛАУ имеет только тривиальное решение и $\Rightarrow$ она невырождена и матрица коэффициентов имеет максимальный ранг $m$.

Я что-то где-то напутал, ибо получилось, что 1) и 2) несовместимы. Подскажите на ошибку, пожалуйста. (Другие идеи тоже приветствуются, но сначала я хочу разобраться с этой.)

[MaximVD]

caxap в сообщении #441044 писал(а):

1) $\Rightarrow$ СЛАУ не имеют общих решений $\Rightarrow$ объединённая СЛАУ несовместна $\Rightarrow$ (т. Крон.--Кап.) ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы коэффициентов (т. е. последний $<m$ по-любому).

Ранг матрицы коэффициентов не обязательно меньше $m$. В этой матрице $2m - 4$ строк и $m$ столбцов. Если $m > ?$, то $2m - 4 > m$. Дальше ясно.

[svv]

$A:\;\; x_1=\lambda,\; x_2=\mu,\; x_3=0,\; x_4=0$
$B:\;\; x_1=\lambda,\; x_2=0,\; x_3=\mu,\; x_4=1$

[caxap]

MaximVD
Понял ошибку. Спасибо. Тогда

1) [...] ранг расширенной матрицы $\le m+1$, значит ранг матрицы коэффициентов $\le m$
2) [...] ранг матрицы коэффициентов $m$.
$\Rightarrow$ ранг матрицы коэф. $m$, расширенной $m+1$.

Чтобы получить $m$ независимых строк в матрице коэффициентов, нам нужно, чтобы $2m-4\ge m$, $m\ge 4$. Но чтобы получить в расширенной матрице больше независимых строк, нужно взять больше, т. е. минимальное $m=5$. Так?

Теперь хотелось бы узнать, можно ли более оптимально решить и можно ли как-нибудь просто сделать строгим интуитивные рассуждения (см. выше), если они верны?

-- 02 май 2011, 22:55 --

svv
Не очень понял. Это что?

[svv]

Это пример двух двумерных скрещивающихся плоскостей $A$ и $B$ в четырехмерном пространстве, заданных в параметрическом виде.

(Работая над решением задачи, всегда полезно знать ответ. )

[caxap]

svv в сообщении #441086 писал(а):

Это пример двух двумерных скрещивающихся плоскостей $A$ и $B$ в четырехмерном пространстве, заданных в параметрическом виде.

По-моему (довольно тяжко такое представлять, поэтому могу ошибиться), у вас для $A$ направляющим подпространством будет линейная оболочка 1-го и 2-го базисного вектора, а для $B$ -- 1-го и 3-го. То бишь пересекутся они по одномерному подпространству, порождённым 1-м базисным вектором. Значит, они не скрещивающиеся (определение см. в первом посте).

[svv]

Понятно. Тогда извините.

[zhekas]

svv в сообщении #441078 писал(а):

$A:\;\; x_1=\lambda,\; x_2=\mu,\; x_3=0,\; x_4=0$
$B:\;\; x_1=\lambda,\; x_2=0,\; x_3=\mu,\; x_4=1$

вектор $\{1,0,0,0\}$ - является общим для двух плоскостей


А для задачи нужно 5 независимых векторов. 2 на одну плоскость, 2 на другую и 1 чтобы их отделить(чтобы они не пересекались)

[MaximVD]

Про интуитивные соображения: есть две двухмерные плоскости $L_1 + x_1$ и $L_2 + x_2$, где $L_1$ и $L_2$ их направляющие подпространства. Условие скрещиваемости $L_1 \cap L_2 = \{ 0 \}$ и $(L_1 + x_1) \cap (L_2 + x_2) = \varnothing$.
Поскольку плоскости двухмерные, то в $L_1$ есть базис $e_1, e_2$, а в $L_2$ есть базис $e_3, e_4$. Из первого условия скрещиваемости получаем, что все векторы $e_1, e_2, e_3, e_4$ линейно независимы. А из второго условия получаем, что не существует таких $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$, что

$$ \alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + x_1 = \alpha_3 e_3 + \alpha_4 e_4 + x_2. $$

Очевидно, что такие $\alpha_i$ в четырёхмерном подпространстве существуют всегда. А вот в пятимерном, если взять $x_2 - x_1$ коллинеарным пятому базисному вектору в объемлющем пространстве, то получим скрещивающиеся плоскости.

[svv]

zhekas писал(а):

вектор $\{1,0,0,0\}$ - является общим для двух плоскостей

Я как-то зациклился на своем интуитивном представлении о том, что такое "скрещенность", не придав большого значения определению сахара. Мне казалось, лишь бы они были непараллельны и не пересекались.

Например, в трехмерном пространстве возьмем плоскости $Oxy$ и $Oxz$. Они пересекаются по $Ox$, но непараллельны. Если теперь добавить четвертую координату и параллельно сдвинуть вдоль нее одну из плоскостей, они перестанут пересекаться и, по моим "понятиям", вполне имеют право теперь называться скрещивающимися.

[caxap]

MaximVD
Спасибо! Как всё просто, оказывается.

P.S. А есть ли какое-нибудь название для случая между параллельностью и скрещиваемостью (напр. как в примере svv)?

-- 02 май 2011, 23:47 --

svv в сообщении #441098 писал(а):

Например, в трехмерном пространстве возьмем плоскости

Теперь понятно, как вы пример строили. Спасибо за разъяснения.

[arseniiv]

caxap в сообщении #441102 писал(а):

P.S. А есть ли какое-нибудь название для случая между параллельностью и скрещиваемостью (напр. как в примере svv)?

Пересечение? (Мне правильно показалось, что там пересечение?)

[caxap]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #441219 писал(а):

Пересечение?

Нет. Плоскости у svv не пересекаются -- они разнесены по четвертой координате.

Я посмотрел разные учебники: скрещиваемость каждый определяет по своему. Всё, что выше, соответствует терминологии Винберга (задача тоже из его учебника). А, например, у Кострикина плоскости скрещиваются, если они не пересекаются и не параллельны (т. е. согласно пониманию svv).

Кстати, понятие параллельности тоже меняется от автора к автору. В Винберге плоскости параллельны, если направляющее подпространство одной плоскости включает ($\subseteq$) н. п. другой. В Кострикие -- если плоскости имеют одинаковые н. п. В частности, возьмём в 3-х измерениях (двумерную) плоскость и прямую, параллельную (во всех смыслах, в том числе в школьном) какой-нибудь прямой из плоскости. По Винбергу прямая и плоскость параллельны. По Кострикину -- скрещиваются.

[arseniiv]

Мне нравится терминология Винберга, но как-то всё-таки не могу понять промежуточный случай. Можно «нарисовать» плоскость и три другие, одна из которых ей параллельна, другая скрещивается, а третья ни то ни сё? Например,
первая — $X = O + r\mathbf e_1 + s\mathbf e_2$
параллельная — $X = O + \mathbf e_3 + t\mathbf e_1 + u\mathbf e_2$
скрещивающаяся — $X = O + \mathbf e_3 + v\mathbf e_4 + w\mathbf e_5$
третья — ?

[zhekas]

arseniiv в сообщении #441255 писал(а):

Мне нравится терминология Винберга, но как-то всё-таки не могу понять промежуточный случай. Можно «нарисовать» плоскость и три другие, одна из которых ей параллельна, другая скрещивается, а третья ни то ни сё? Например,
первая — $X = O + r\mathbf e_1 + s\mathbf e_2$
параллельная — $X = O + \mathbf e_3 + t\mathbf e_1 + u\mathbf e_2$
скрещивающаяся — $X = O + \mathbf e_3 + v\mathbf e_4 + w\mathbf e_5$
третья — ?

третья — $X = O + \mathbf e_3 + v\mathbf e_1 + w\mathbf e_5$

не паралельна и не скрещивающаяся и не персекающаяся с первой