Задачки по аффинным пространствам

[nnosipov]

ewert в сообщении #443204 писал(а):

nnosipov в сообщении #443177 писал(а):

Неужели Вам непонятно, что я имел в виду?

Понятно, конечно. Просто Ваше определение разности, как частного случая суммы -- практически абсолютно бесполезно. В отличие от подпространства, которое образует прямую сумму с пересечением; это уже действительно содержательно.

Да не давал я никаких определений, я просто намекал понятно на что. И вроде помогло, судя по появившемуся решению.

-- Вс май 08, 2011 02:08:26 --

Я своим студентам рассказываю это так. Пусть $L$ --- подпространство, $a$ --- вектор. Тогда $\min_{b \in L}{|a-b|}=|a-a_1|=|a_2|$, где $a=a_1+a_2$ --- разложение в сумму ортогональной проекции $a_1 \in L$ и ортогональной составляющей $a_2 \in L^\perp$. (Действительно, имеем $|a-b|^2=|(a-a_1)+(a_1-b)|^2=|a-a_1|^2+|a_1-b|^2$ по теореме Пифагора.) Ну разве теперь Ваш п. 4.1 не очевиден (надо лишь взять $L=U_1+U_2$)?
(Это ответ на реплику caxap'а, которая куда-то исчезла.)

[caxap]

nnosipov, спасибо.

Теперь задачка по проективным пространствам. Проверьте, пожалуйста.

6.1. Доказать, что не существует атласа пространства $PV$ размерности $n$ из менее чем $(n+1)$ аффинных карт.

Предположим, что существует атлас из карт $S_1,...,S_m$ ($m<n+1$). Каждая карта $S_i$ не покрывает те прямые (из $V$), которые принадлежат её направляющему подпространству $U_i$. Поэтому все карты вместе не покрывают те прямые (из $V$), которые принадлежат пересечению $U:=\bigcap_i U_i$. Но $\dim U\ge 1$.

Доказательство. $U_i\subset V$ -- гиперплоскости, поэтому задаются одним линейным однородным уравнением из $\dim V=n+1$ неизвестных. Пересечению $U$ соответствует объединение уравнений в систему. Число независимых уравнений не превышает их общее числа $m$, а, следовательно, размерность решения $\dim U\ge (n+1)-m>0$. $\square$

Поэтому в $U$ содержится хотя бы одна прямая. Она же -- точка $PV$ и не проектируется ни на одну карту. Противоречие.