матрица 2x2 в 137-й степени

[giallorosso]

есть матрица $\begin{pmatrix}1 & 0.1 \\ 0.1 & 1\end{pmatrix}$
Надо посчитать её 137ю степень без компа и калькулятора. Я выделяю единичную матрицу, прихожу к выражению $I+0.1*A$ где А - единичная косодиагональная матрица. Она в четных степенях переходит в единичную, в нечетных-сама в себя. Далее раскрываю $(I+0.1*A)^{137}$ как биномиальный ряд и получаю 2 ряда-с четными и нечетными биномиальными коэффициентами (группирую А по четным и нечетным степеням). А вот как просуммировать дальше?

[caxap]

Вряд ли от вас требует точного результата. Учитывая исходную матрицу, наверняка требуется найти ответ с точностью 1-го знака после запятой.

[AKM]

giallorosso,

исправьте написание формул в соответствии с Правилами. Матрицу я вписал, остальное за Вами.
Здесь рассказано, как набирать формулы (здесь подробнее).
Используйте кнопку для редактирования своего сообщения.

Тема перемещена из "Помогите решить (М)" в карантин.
Как исправите - пишите сюда, чтобы тему вернули.

Возвращено.

[mihiv]

Рассмотрите сумму и разность выражений $(1+x)^n$ и $(1-x)^n$.

[Padawan]

Найдите многочлен $P(x)$ первой степени, который на собственный значениях этой матрицы принимает такие же значения, что и функция $x^{137}$. Тогда $A^{137}=P(A)$.

[Евгений Машеров]

Представляем матрицу через её собственные значения и вектора. Собственные значения тут очевидны - 0.9 и 1.1. Собственные вектора (1; -1) и (1;1) соответственно.
n-ная степень матрицы A выражается через них просто:
$A^n=(C^T {\Lambda} C)^n=C^T {\Lambda}^n C$
где C - матрица собственных векторов, $\Lambda$ - диагональная матрица собственных значений.
Ну, а 1.1 возвести в 137 степень несложно даже без калькулятора. Особенно если помнить двоичную систему счисления

[giallorosso]

всем спасибо!!

[ewert]

Евгений Машеров в сообщении #440954 писал(а):

$A^n=(C^T {\Lambda} C)^n=C^T {\Lambda}^n C$
где C - матрица собственных векторов,

Ну только не транспонированная, она ж не буквально ортогональна.

Да, и ещё, кстати:

Евгений Машеров в сообщении #440954 писал(а):

Собственные значения тут очевидны - 0.9 и 1.1. Собственные вектора (1; -1) и (1;1) соответственно.

Я бы сказал наоборот (если исходить именно из соображений очевидности, а не тупо считать). Очевидно, что вектор $(1,1)$ является собственным (поскольку суммы элементов вдоль каждой строки одинаковы). А поскольку матрица симметрична и, следовательно, имеет ортогональный собственный базис, другим очевидным собственным вектором будет $(1,-1)$. Ну а тогда уж очевидны и собственные числа.

[Евгений Машеров]

Буквально ортогональна. Исходная матрица ведь симметрична. А для таких матрица из собственных векторов ортогональна.
Ну и "очевидность для собственных значений" - 0.9 мне кажется "более очевидной". Вычитаем 0.9 из диагонали, получаем матрицу с одинаковыми строками, то есть определитель равен нулю. То есть это "очевидность из $|A-\lambda I|=0$", а не "очевидность из $Ax=\lambda x$", но в любом случае задача на понимание нескольких простых идей и умение их быстро приложить.