2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 матрица 2x2 в 137-й степени
Сообщение01.05.2011, 19:51 


26/10/10
30
есть матрица $\begin{pmatrix}1 & 0.1 \\  0.1 & 1\end{pmatrix}$
Надо посчитать её 137ю степень без компа и калькулятора. Я выделяю единичную матрицу, прихожу к выражению $I+0.1*A$ где А - единичная косодиагональная матрица. Она в четных степенях переходит в единичную, в нечетных-сама в себя. Далее раскрываю $(I+0.1*A)^{137}$ как биномиальный ряд и получаю 2 ряда-с четными и нечетными биномиальными коэффициентами (группирую А по четным и нечетным степеням). А вот как просуммировать дальше?

 Профиль  
                  
 
 Re: матрица в степени
Сообщение01.05.2011, 20:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Вряд ли от вас требует точного результата. Учитывая исходную матрицу, наверняка требуется найти ответ с точностью 1-го знака после запятой.

 Профиль  
                  
 
 Re: матрица в степени
Сообщение01.05.2011, 20:25 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
 !  giallorosso,

исправьте написание формул в соответствии с Правилами. Матрицу я вписал, остальное за Вами.
Здесь рассказано, как набирать формулы (здесь подробнее).
Используйте кнопку Изображение для редактирования своего сообщения.

Тема перемещена из "Помогите решить (М)" в карантин.
Как исправите - пишите сюда, чтобы тему вернули.


Возвращено.

 Профиль  
                  
 
 Re: матрица в степени
Сообщение02.05.2011, 12:49 
Заслуженный участник


03/01/09
1701
москва
Рассмотрите сумму и разность выражений $(1+x)^n$ и $(1-x)^n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: матрица в степени
Сообщение02.05.2011, 14:00 
Заслуженный участник


13/12/05
4604
Найдите многочлен $P(x)$ первой степени, который на собственный значениях этой матрицы принимает такие же значения, что и функция $x^{137}$. Тогда $A^{137}=P(A)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: матрица в степени
Сообщение02.05.2011, 17:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9904
Москва
Представляем матрицу через её собственные значения и вектора. Собственные значения тут очевидны - 0.9 и 1.1. Собственные вектора (1; -1) и (1;1) соответственно.
n-ная степень матрицы A выражается через них просто:
$A^n=(C^T {\Lambda} C)^n=C^T {\Lambda}^n C$
где C - матрица собственных векторов, $\Lambda$ - диагональная матрица собственных значений.
Ну, а 1.1 возвести в 137 степень несложно даже без калькулятора. Особенно если помнить двоичную систему счисления

 Профиль  
                  
 
 Re: матрица в степени
Сообщение02.05.2011, 20:25 


26/10/10
30
всем спасибо!!

 Профиль  
                  
 
 Re: матрица в степени
Сообщение03.05.2011, 06:39 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Евгений Машеров в сообщении #440954 писал(а):
$A^n=(C^T {\Lambda} C)^n=C^T {\Lambda}^n C$
где C - матрица собственных векторов,

Ну только не транспонированная, она ж не буквально ортогональна.

Да, и ещё, кстати:

Евгений Машеров в сообщении #440954 писал(а):
Собственные значения тут очевидны - 0.9 и 1.1. Собственные вектора (1; -1) и (1;1) соответственно.

Я бы сказал наоборот (если исходить именно из соображений очевидности, а не тупо считать). Очевидно, что вектор $(1,1)$ является собственным (поскольку суммы элементов вдоль каждой строки одинаковы). А поскольку матрица симметрична и, следовательно, имеет ортогональный собственный базис, другим очевидным собственным вектором будет $(1,-1)$. Ну а тогда уж очевидны и собственные числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: матрица в степени
Сообщение03.05.2011, 12:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9904
Москва
Буквально ортогональна. Исходная матрица ведь симметрична. А для таких матрица из собственных векторов ортогональна.
Ну и "очевидность для собственных значений" - 0.9 мне кажется "более очевидной". Вычитаем 0.9 из диагонали, получаем матрицу с одинаковыми строками, то есть определитель равен нулю. То есть это "очевидность из $|A-\lambda I|=0$", а не "очевидность из $Ax=\lambda x$", но в любом случае задача на понимание нескольких простых идей и умение их быстро приложить.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group