Множество преобразований координат обязано ли быть группой?

[Chepick]

Уважаемые господа!
Ко мне недавно поступила просьба разъяснить, почему множество преобразований координат не обязано быть группой. Имелось в виду дать пояснения к опубликованной мной в ж."Актуальные проблемы статистической радиофизики" статье :
"Множество преобразований и принцип относительности". (см. http://redshift0.narod.ru/Rus/Stationary/Absolute/Transformation_set_1.htm)

В некоторых книгах имеется (приписываемое Пуанкаре) ошибочное требование к множеству преобразований координат быть группой. Из этого требования выводятся Преобразования Лоренца (ПЛ), а затем аргументируется верность теории относительности.

Однако в действительности А.Пуанкаре такого требования не выдвигал, он лишь констатировал в своей Палермской статье, что преобразования координат, описываемые ПЛ, имеют свойства группы. Пуанкаре говорил только о ПЛ, и ни о каком другом преобразовании.


В статье доказано, что множество преобразований координат (известно в литературе как преобразование Тангерлини, которое в статье названо КОЗП) между инерциальными системами отсчета, двигающимися в Абсолютном пространстве, не является группой.

В статье разработан другой метод описания множества преобразований координат:
- предложено определение алгебраической структуры "чеп" (старославянское "Цепь");
- показано, что в чеп вписывается и КОЗП, и преобразования Лоренца;
- предложен критерий: множество преобразований G является группой тогда и только тогда, когда в чепе, соответствующем G, выполнено свойство относительности.

В статье поставлена и решена проблема:
Множество преобразований G является группой тогда и только тогда, когда преобразование координат между любой парой ИСО зависит только от одного параметра скорости - их относительной скорости.

Об этом говорится в указанной статье, где дан основной вывод: Предъявляемое к преобразованиям координат "требование Пуанкаре" образовывать группу - чрезмерное.

Прошу задавать вопросы.
Возможно, обсуждение и ответы на эти вопросы заинтересуют студентов МГУ.

С уважением,
Александр Чепик.

[Munin]

То, что свойство множества преобразований быть группой выполняется тогда и только тогда, когда выполняется принцип относительности, простой и известный факт. В вашем решении не видно новизны.

[Chepick]

Уважаемый Munin!

Спасибо за замечание.
Но уверены ли Вы, что именно выполнение принципа относительности эквивалентно наличию свойства группы преобразований?
Я постараюсь доказать, что такая уверенность не является обоснованной.

Действительно, в случае выполнения принципа относительности Эйнштейна множество преобразований является группой, однако обратное неверно - из свойства группы не может следовать принцип относительности Эйнштейна ( о независимости от ИСО вида формул физических законов), поскольку это более сильное свойство, чем группа, в силу того, что эта группа не касается физических свойств Вселенной: объектов, полей, сил, ускорений, энергии, и т.п..
Оказывается, существует более общее свойство (я назвал его свойством относительности), чем принцип относительности, которое эквивалентно свойству группы преобразований координат:
7. Критерий группы
Пусть множество $G$ в чепе является группой, то есть, в частности, выполняется: $\forall k,g \in G : k*g \in G$. Для преобразований координат это значит, что $\forall a,b \in M : \varphi(a,b)*g \in G$, а поскольку результат преобразования $\varphi(a,b)$ находится в любой системе отсчета "$b$", то это означает, что любое конкретное преобразование $g$ должно быть способным преобразовывать координаты из любой системы. Следовательно, для любого преобразования $g\in G$ выполнено:

$$\forall b\in M \exists d\in M : \varphi(b,d)=g \texttt{ . (8)}$$

Напомню определение:
3. Определение чепа
Для описания вышеперечисленных свойств преобразований выделим отдельную структуру среди двухосновных алгебр с бинарной операцией, и в соответствии с основным свойством множества преобразований (цепь преобразований является преобразованием того же типа), и назовем такую структуру - "чеп" (от старорусского - цепь, сцепка, зацеп; слово "чеп" склоняется так же, как слово "серп"), с учетом того, что непосредственно сам термин "цепь" уже задействован в алгебре.

Def.2. Структура из 4 элементов $Ch=(G,M,*,\varphi)$ называется «чеп», если:
- Для множеств $G$, $M$ и соответствия $\varphi$ множества пар $a,b\in M$ на множество $G$ выполнено:
_ _ d.2.1. $\exists e\in G : \forall b\in M : \varphi(b,b)=e$.
_ _ d.2.2. $\forall g\in G \exists a,b\in M : \varphi(a,b)=g$ и $\forall a,b\in M \exists \texttt{ единственный } g\in G : \varphi(a,b)=g$.
- На множестве $G$ задана бинарная операция «*» со свойством:
_ _ d.2.3. $\forall a,b,c\in M : \varphi(a,b)*\varphi(b,c)=\varphi(a,c)$ - последовательная композиция элементов $G$.

[Munin]

Chepick в сообщении #440794 писал(а):

Действительно, в случае выполнения принципа относительности Эйнштейна множество преобразований является группой, однако обратное неверно - из свойства группы не может следовать принцип относительности Эйнштейна ( о независимости от ИСО вида формул физических законов), поскольку это более сильное свойство, чем группа, в силу того, что эта группа не касается физических свойств Вселенной: объектов, полей, сил, ускорений, энергии, и т.п..

Как раз касается. Почитайте учебники, для чего эта группа вводится.

И научитесь пользоваться $\LaTeX$ - на этом форуме принято оформлять формулы именно в нём (в том числе логические высказывания), а записи подобно вашей приводят к модераторским санкциям.

[nestoklon]

Chepick в сообщении #440592 писал(а):

Об этом говорится в указанной статье, где дан основной вывод: Предъявляемое к преобразованиям координат "требование Пуанкаре" образовывать группу - чрезмерное.

Это конечно хорошо, но перед тем как обсуждать новые сущности, хотелось бы поговорить об уже известной математике.
Как Вы правильно указываете, в принципе можно попытаться отказаться только от существования ассоциативности.
Но 1) даже если мы откажемся от ассоциативности, это будет извесный математикам объект. Он называется квазигруппой с единицей (loop).
2) Я не согласен с Вашим мнением о том, что

Цитата:

Следовательно, любое преобразование может каким-то образом зависеть от исходного и/или результирующего элементов (нелинейное преобразование), или может каким-то образом зависеть от характеристик (параметров) исходного и результирующего множеств (например, от относительной скорости ИСО2 в ИСО1, или в случае линейных преобразований (см. §4.) - от скоростей ИСО в АСО), в этом смысле можно говорить об одно- и двухпараметрических преобразованиях. Следовательно, множество преобразований не может быть определено без множества пар множеств преобразуемых элементов, и без отображения этого множества пар в множество преобразований.

Это ниоткуда не следует. Есть преобразования ИСО. Просто преобразования. И они должны быть ассоциативны.
Потому, что если вспомнить что это некоторые преобразования некоторых пространств, то (как Вы справедливо замечаете) для тех элементов этих пространств, для которых такие преобразования имеют смысл, они ассоциативны. То, что они ассоциативны "в принципе" следует из того, что это преобразования [изоморфных пространств]. Иначе у нас получится, что некоторые элементы одной ИСО нельзя перевести в другую. Что по меньшей мере странно. Получаются какие-то дырки в исходном пространстве.

То есть, если будут прямые экспериментальные указания на то, что так надо делать, я был бы готов с этим согласится. Но пока таких указаний нет.

Вы там активно упираете на то, что группа преобразований должны быть замкнутой. Но это свойство -- лишнее. Есть множество всех преобразований пространства. Есть операция композиции двух преобразований в третье. Это множество замкнуто относительно композиции по построению. Если вы строите группу на основе какого-то известного Вам множества преобразований и композиция преобразований не попала в множество известных Вам исходных преобразований, просто добавьте его туда.

Munin в сообщении #440617 писал(а):

То, что свойство множества преобразований быть группой выполняется тогда и только тогда, когда выполняется принцип относительности, простой и известный факт.

Как это? Может быть Вы имеете в виду, что ПЛ в принципе может не исчерпывать всех возможных преобразований между ИСО?

[Munin]

nestoklon в сообщении #440848 писал(а):

Как это? Может быть Вы имеете в виду, что ПЛ в принципе может не исчерпывать всех возможных преобразований между ИСО?

Нет, конечно. Просто при отсутствии принципа относительности множество преобразований иначе устроено: преобразование от ИСО 1 к ИСО 2, движущейся с заданной скоростью относительно ИСО 1, различно для различных исходных ИСО 1. Поэтому речь идёт не об одной группе, а о множестве разных групп. P. S. Даже это неверно.

[nestoklon]

Munin в сообщении #440867 писал(а):

Поэтому речь идёт не об одной группе, а о множестве разных групп.

Не согласный я. Всё равно группа будет. Только задаваться каждое преобразование будет не только свойствами самого преобразования (относительным скоростями, поворотами, etc.) но и исходной ИСО. Но все свойства группы будут выполнены.

[Munin]

А тогда смысл теряется. Ну, любое преобразование можно задать исходной и целевой ИСО. А что такое групповая операция? Обратный элемент?

[nestoklon]

Munin в сообщении #440894 писал(а):

А тогда смысл теряется.

Ничего тогда не теряется. Сказать что преобразования СО образуют группу -- это всё равно что сказать что вещественные числа образуют поле. Или что положения материальных точек можно задавать элементами векторного пространства. Без этого любая физика просто бессмысленна.
Вот тот факт что закон преобразования не зависит от исходной и конечной СО, а только от их относительных скоростей (углов, пр.) получается из принципа относительности. Именно в такой последовательности.

Munin в сообщении #440894 писал(а):

А что такое групповая операция? Обратный элемент?

??? Композиция очевидно. Как всегда.

[Munin]

nestoklon в сообщении #440901 писал(а):

??? Композиция очевидно. Как всегда.

Уточните. Кто с кем вступает в композицию.

[nestoklon]

Munin в сообщении #440903 писал(а):

Уточните. Кто с кем вступает в композицию.

Элемент группы -- переход между СО. Два последовательных перехода от одной СО к другой -- это тоже переход между СО.

[Munin]

Всё-таки, возможно ли взять композицию переходов от СО 1 к СО 2 и от СО 1 к СО 3?

[nestoklon]

Munin в сообщении #440933 писал(а):

Всё-таки, возможно ли взять композицию переходов от СО 1 к СО 2 и от СО 1 к СО 3?

А Вы с какой целью интересуетесь зачем? Я сказал последовательных. Есть переход от CO1 к СО2 и от СО2 к СО3. Композиция -- это естественно определённый переход от СО1 к СО3.
$g_1: \text{СО1} \to \text{СО2}$, $g_2: \text{СО2} \to \text{СО3}$, $g_{12}=g_1\circ g_2: \text{СО1} \to \text{СО2} \to \text{СО3}$.
С так определённой групповой операцией переходы между системами отсчёта образуют группу.

[Munin]

А опишите-ка мне $g^2.$ Или назовите группу, в которой элемент нельзя в квадрат возвести.

[nestoklon]

Munin в сообщении #440977 писал(а):

А опишите-ка мне $g^2.$

Хорошо, я подумаю. А Вы подумайте пожалуйста на тему того, какие конкретно групповые свойства не выполняются.