Стержень в жидкости

[dovlato]

Стержень находится в вертикальном положении в гидростат. равновесии в жидкости, имеющая известный постоянный градиент плотности по вертикали: $\frac {d\rho}{dy}=\rho'=constant$. Средняя плотность стержня равна $\rho_0$. Найти частоту его вертикальных колебаний.

[ewert]

dovlato в сообщении #440162 писал(а):

в жидкости, имеющая известный постоянный градиент плотности по вертикали

У меня есть предложение: давайте начнём с того, что таких жидкостей (в совокупности со стержнями) практически не бывает.

После чего никто уже не сможет предотвратить нашего обсчёта всех прочих сферических коней в вакууме.

[Munin]

ewert в сообщении #440173 писал(а):

У меня есть предложение: давайте начнём с того, что таких жидкостей (в совокупности со стержнями) практически не бывает.

Вы коктейлей не смешивали :-)

[Morkonwen]

Задачка на самом деле очень простая и не очень олимпиадная. сила будет $-(\rho-\rho_0)g V$ тогда потенциал $(\rho-\rho_0)*V*g * y= \frac {d\rho}{dy} * V g y^2$, в равновесии тело там где плотность жидкости равна его плотности.

а квадрат частоты - всегда отношение коэффициентов в потенциальной энергии и кинетической, так что $\omega^2=\frac {d\rho}{dy}*\frac{2\,V g}{m} =\frac {d\rho}{dy}*\frac{2 g}{\rho_0}$
здесь стержень тонкий так что плотность поперек него не сильно успевает поменятся

[dovlato]

Munin в сообщении #440182 писал(а):

коктейлей не смешивали

Вот не любит ewert ни коктейлей, ни коней в вакууме(почему?!).. На самом деле, достаточно хотя бы вспомнить нашу атмосферу, где на разностях высоты в пределах сотен метров градиент её плотности практически - константа: $exp\left(-mgh/kT\right)=1-mgh/kT+o(h^2)$.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #440182 писал(а):

Вы коктейлей не смешивали :-)

А там градиент постоянен как -- до смешивания, после смешивания или после принятия?...

-- Сб апр 30, 2011 10:58:53 --

dovlato в сообщении #440206 писал(а):

достаточно хотя бы вспомнить нашу атмосферу,

Недостаточно: атмосфера -- не жидкая. Кроме того, на расстояниях порядка сотни метров не только градиент практически постоянен, но и перепад практически нулевой (порядка процента). Кроме того, трудно назвать стержнем нечто длиной в сотни метров.

Если уж задачка по физике, то и её внешний вид должен хоть сколько-то, да напоминать физику.

[Morkonwen]

Боже, да переформулируйте задачу под экспоненциальное давление. от того, что нужно будет взять одну производную задача сложнее не станет, а решение выше даже не поменяется =)

-- Сб апр 30, 2011 11:09:05 --

На этом принципе кстати устойчиво плавают подводные лодки

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #440207 писал(а):

А там градиент постоянен как -- до смешивания, после смешивания или после принятия?...

В процессе и после смешивания.

Morkonwen в сообщении #440209 писал(а):

На этом принципе кстати устойчиво плавают подводные лодки

А у них точно эта устойчивость существенна? Или в основном за счёт рулей всё-таки?

Мне кажется, что залипание в пикноклине, наоборот, может представлять для подводных лодок опасность, снижая управляемость.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #440247 писал(а):

В процессе и после смешивания.

Не надо так шутить. Лучше немедленно выпить.

Morkonwen в сообщении #440209 писал(а):

На этом принципе кстати устойчиво плавают подводные лодки

Вряд ли. "Коэффициент упругости" для возвращающей силы -- это $\dfrac{dF}{dy}=mg\dfrac{\rho'_{\text{ср}}(y)}{\rho_{\text{ср}}}$, причём для воды отношение градиента плотности к самой плотности -- что-то порядка $5\cdot10^{-6}\text{\it м}^{-1}$. Т.е. для лодки водоизмещением в $50$ тыщ тонн возвращающая сила будет возрастать примерно на $250$ килограмм при погружении/подъёме на каждый метр. Маловато для управления, мягко говоря. Гораздо большее влияние оказывает зависимость плотности от температуры и химического состава (концентрации соли или там сероводорода), не говоря уж о течениях.

Morkonwen в сообщении #440209 писал(а):

переформулируйте задачу под экспоненциальное давление. от того, что нужно будет взять одну производную задача сложнее не станет, а решение выше даже не поменяется

Поменяется:
$\dfrac{k}{m}=\dfrac{1}{m}\cdot\dfrac{dF}{dy}=g\,\dfrac{\rho'_{\text{ср}}(y)}{\rho_{\text{ср}}}=g\,\dfrac{\rho'_{\text{ср}}(y)}{\rho_{0}}$.
И средний градиент, естественно, зависит от того, по какому закону меняется плотность в зависимости от высоты. И, кстати, откуда Вы там двойку-то выковыряли?...

[Munin]

ewert в сообщении #440259 писал(а):

Не надо так шутить.

Я не шучу. Градиент плотности - это основа, на которой вообще все коктейли построены (кроме полностью перемешанных). Именно за счёт него коктейли имеют типичный горизонтально-полосатый вид.

ewert в сообщении #440259 писал(а):

Гораздо большее влияние оказывает зависимость плотности от температуры и химического состава (концентрации соли или там сероводорода), не говоря уж о течениях.

Именно о них и речь: в океане значительны термический и галинный градиенты. Пикноклин имеет разную глубину и значение градиента, в высокоширотных водах вообще исчезает, особенно силён в областях впадения рек в океан. Не знаю насчёт подводных лодок, но для морской биоты это отдельная зона обитания.

[ewert]

Munin в сообщении #440263 писал(а):

Именно за счёт него коктейли имеют типичный горизонтально-полосатый вид.

Ага, и при этом градиент как раз постоянным и выходит.

[Munin]

Когда как. В любом случае, мы говорим о приближении в ограниченной области.

[ewert]

Munin в сообщении #440269 писал(а):

мы говорим о приближении в ограниченной области

Ну да, в пограничном слое. И если бросить в него такой ма-аленький стерженёк, длиной где-то в полмиллиметра, то задачка как раз корректной и выйдет.

[Munin]

Ещё раз, вы не в курсе. В коктейле толщина слоя с примерно постоянным градиентом может быть несколько сантиметров.

[dovlato]

Так..волю - в кулак, и вот оно, уравнение медленных колебаний, для любого закона изменения плотности жидкости (или газа) $\rho(y)$от высоты:

$$\frac{d^2y}{dt^2}+g-\frac{g}{l\rho_0}\int\limits_{y-l/2}^{y+l/2}\rho(y+h)dh=0$$

После разложения подынт. ф. по степеням $h$, и отбрасывания всего, что выше второго порядка, получается вроде так:

$$\frac{d^2y}{dt^2}+g-\frac g{\rho_0}\left[\rho(y)-\frac{l^2}{24}\frac{d^2}{dy^2}\rho(y)+...\right]=0$$

Пусть теперь $\rho(y_0)=\rho_0$; положив $\rho(y_0+\Delta y)\approx \rho(y_0)+\frac{d}{dy}\rho(y_0) \Delta y$, где $ \rho(y_0)=\rho_0$, получаем приближение уравнения медленных колебаний:

$$\frac{d^2}{dt^2} \Delta y-\frac{g}{\rho_0}\rho'\Delta y=0$$

Откуда

$$\omega^2=-g\frac{d}{dy}ln[\rho(y)]$$

Критерий допустимости аппроксимации: $\left|\frac{\rho'' l}{2\rho'}\right|<<1$
Даже любопытно. Значит, для атмосферы согласно барометрической формуле имеем: $-ln(\rho)=const+mgy/kT$, откуда

$$\omega^2=\mu g^2/RT$$

Хорошо бы перепроверить - но сил уже нет.